代數是研究數、數量、關系、結構與代數方程（組）的通用解法及其性質的數學分支。初等代數一般在中學時講授，介紹代數的基本思想：研究當我們對數字作加法或乘法時會發生什么，以及了解變量的概念和如何建立多項式并找出它們的根。代數的研究對象不僅是數字，而， 以下是為大家整理的關于線性代數心得體會6篇 , 供大家參考選擇。
線性代數心得體會6篇
第1篇: 線性代數心得體會
西南大學網絡與繼續教育學院課程考試試題卷
類別：網教 專業：計算機科學與技術 2018年6月
課程名稱【編號】：0044【線性代數】 A卷
大作業 滿分：100分
一、 大作業題目
1. 計算行列式的值.
2. 已知，，計算.
3. 設線性方程組為(其中為實數),
(1)取何值時,該方程組有解?
(2)在有解的情況下, 求出其特解以及其對應的齊次線性方程組的基礎解系, 進而求出原方程組的通解.
4. 給定矩陣.
(1) 求出A的特征值及特征向量；
(2) 矩陣A能對角化?說明理由.
5. 設向量組線性無關, 而向量組線性相關,則向量b可由線性表示, 且表示法是唯一的.
二、大作業要求
大作業共需要完成三道題：
第1-2題選作一題，滿分30分；
第3-4題選作一題，滿分30分；
第5題必作，滿分40分。
一、大作業題目
第一題
第四題
第五題
第2篇: 線性代數心得體會
學習線性代數的心得體會
線代課本的前言上就說：“在現代社會，除了算術以外，線性代數是應用最廣泛的數學學科了。”我們的線代教學的一個很大的問題就是對線性代數的應用涉及太少，課本上涉及最多的只能算解線性方程組了，但這只是線性代數很初級的應用。我自己對線性代數的應用了解的也不多。但是，線性代數在計算機數據結構、算法、密碼學、對策論等等中都有著相當大的作用。
線性代數被不少同學稱為“天書”，足見這門課給同學們造成的困難。在這門課的學習過程中，很多同學遇到了上課聽不懂，一上課就想睡覺，公式定理理解不了，知道了知識但不會做題，記不住等問題。我認為，每門課程都是有章可循的，線性代也不例外，只要有正確的方法，再加上自己的努力，就可以學好它。
線代是一門比較費腦子的課，所以如果前一天晚上睡得太晚第二天早上的線代課就會變成“催眠課”。那么，就應該在第二天有線代課時晚上睡得早一點。如果你覺得上課跟不上老師的思路那么請預習。這個預習也有學問，預習時要“把更多的麻煩留給自己”，即遇到公式、定理、結論馬上把證明部分蓋住，自己試著證一下，可以不用寫詳細的過程，想一下思路即可；還要多猜猜預習的部分會有什么公式、定理、結論；還要想一想預習的內容能應用到什么領域。當然，這對一些同學有困難，可以根據個人的實際情況適當調整，但要盡量多地自己思考。
一定要重視上課聽講，不能使線代的學習退化為自學。上課時干別的會受到老師講課的影響，那為什么不利用好這一小時四十分鐘呢？上課時，老師的一句話就可能使你豁然開朗，就可能改變你的學習方法甚至改變你的一生。上課時一定要“虛心”，即使老師講的某個題自己會做也要聽一下老師的思路。
上完課后不少同學喜歡把上課的內容看一遍再做作業。實際上應該先試著做題，不會時看書后或做完后看書。這樣，作業可以幫你回憶老師講的內容，重要的是這些內容是自己回憶起來的，這樣能記得更牢，而且可以通過作業發現自己哪些部分還沒掌握好。作業盡量在上課的當天或第二天做，這樣能減少遺忘給做作業造成的困難。做作業時遇到不會的題可以問別人或參考同學的解答，但一定要真正理解別人的思路，絕對不能不弄清楚別人怎么做就照抄。適當多做些題對學習是有幫助的。。
線性代數的許多公式定理難理解，但一定要理解這些東西才能記得牢，理解不需要知道它的證明過程的每一步，只要能從生活實際想到甚至朦朦朧朧地想到它的“所以然”就行了。學習線代及其它任何學科時都要靜下心來，如果學習前“心潮澎湃”就拿出一兩分鐘時間平靜下來再開始學習。遇到不會做的題時不要去想“這道題我怎么又不會做”等與這道題無關的東西，一心想題，這樣解出來的可能性會大很多。做完題后要想想答案上的方法和自己的方法是怎么想出來的，尤其對于自己不會做的題或某個題答案給出的解法非常好且較難想到，然后將這種思路“存檔”，即“做完題后要總結”。
線性代數作為一門數學，體現了數學的思想。
數學上的方法是相通的。比如，考慮特殊情況這種思路。線性代數中行列式按行或列展開公式的證明就是從更簡單的特殊情況開始證起；解線性方程組時先解對應的齊次方程組，這些都是先考慮特殊情況。高數上解二階常系數線性微分方程時先解其對應的齊次方程，這用的也是這種思路。
通過思想方法上的聯系和內容上的聯系，線性代數中的內容以及線性代數與高數甚至其它學科可以聯系起來。只要建立了這種聯系，線代就不會像原來那樣瑣碎。方法真的很難講，而方法包含許多細節的內容很難講出來甚至我都意識不到，但它們會對學習起很大的作用。我感覺“做完題要總結”，“上課想到老師前面”，“注重知識之間的聯系”很重要。
第3篇: 線性代數心得體會
摘要：線性代數是一門對理工科學生極其重要數學學科，主要處理的是線性關系的問題。線性代數作為一門數學，體現了數學的思想，和數學上的方法也是相通的，對于培養學生的邏輯推理和抽象思維能力、空間直觀和想象能力具有重要的作用。線性代數在計算機數據結構、算法、密碼學、對策論等等中都有著相當大的作用。
關鍵字：線性關系、滲透、分支、廣泛的應用、重要的作用、解決、問題、應用最廣泛、作用、有章可循、適當調整、相通、聯系、發散思維、培養。
Talk about linear algebra class practice experience
Abstract: the linear algebra is a branch of science and engineering students extremely important mathematical disciplines, mainly deal with the problem of linear relationship. Linear algebra as a mathematics, embodies the mathematics thought, and the mathematical method is the same, to cultivate students" logical reasoning and abstract thinking ability, space, intuitive and imagination ability has an important role. Linear algebra in computer data structure and algorithm, cryptography, game theory, and so on all have considerable effect.
Key word:Linear relationship, osmosis, branching, and a wide range of application, important role, solve, problem, the most widely used, function, rule-based, appropriate adjustments, interlinked, contact, divergent thinking, and culture.
1、引言
線性代數是代數學的一個分支，“代數”這一個詞在我國出現較晚，在清代時才傳入中國，當時被人們譯成“阿爾熱巴拉”，直到1859年，清代著名的數學家、翻譯家李善蘭才將它翻譯成為“代數學”，一直沿用至今。
線性代數是一門對理工科學生極其重要數學學科。線性代數主要處理的是線性關系的問題，隨著數學的發展，線性代數的含義也不斷的擴大。它的理論不僅滲透到了數學的許多分支中，而且在理論物理、理論化學、工程技術、國民經濟、生物技術、航天、航海等領域中都有著廣泛的應用。同時，該課程對于培養學生的邏輯推理和抽象思維能力、空間直觀和想象能力具有重要的作用。
2、正文
通過線性代數的學習，能使學生獲得應用科學中常用的矩陣、線性方程組等理論及其有關基本知識，并具有較熟練的矩陣運算能力和用矩陣方法解決一些實際問題的能力。
線代課本的前言上就說：“在現代社會，除了算術以外，線性代數是應用最廣泛的數學學科了。”我們的線代教學的一個很大的問題就是對線性代數的應用涉及太少，課本上涉及最多的只能算解線性方程組了，但這只是線性代數很初級的應用。我自己對線性代數的應用了解的也不多。但是，線性代數在計算機數據結構、算法、密碼學、對策論等等中都有著相當大的作用。
沒有應用到的內容很容易忘，就像現代一樣，我現在高數還基本記得。因為高數在很多課程中都有廣泛的應用，比如在開設的大學物理課中。所以，如果有時間的話，要盡可能地到網上或圖書館了解線性代數在各方面的應用。如：《線性代數》（居余馬等編，清華大學出版社）上就有線性代數在“人口模型”、“馬爾可夫鏈”、“投入產出數學模型”、“圖的鄰接矩陣”等方面的應用。也可以試著用線性代數的方法和知識證明以前學過的定理或高數中的定理，如老的高中解析幾何課本上的轉軸公式，它就可以用線性代數中的過渡矩陣來證明。
線性代數被不少同學稱為“天書”，足見這門課給同學們造成的困難。在這門課的學習過程中，很多同學遇到了上課聽不懂，一上課就想睡覺，公式定理理解不了，知道了知識但不會做題，記不住等問題。我認為，每門課程都是有章可循的，線性代也不例外，只要有正確的方法，再加上自己的努力，就可以學好它。
線代是一門比較費腦子的課，所以如果前一天晚上睡得太晚第二天早上的線代課就會變成“催眠課”。那么，就應該在第二天有線代課時晚上睡得早一點。如果你覺得上課跟不上老師的思路那么請預習。這個預習也有學問，預習時要“把更多的麻煩留給自己”，即遇到公式、定理、結論馬上把證明部分蓋住，自己試著證一下，可以不用寫詳細的過程，想一下思路即可；還要多猜猜預習的部分會有什么公式、定理、結論；還要想一想預習的內容能應用到什么領域。當然，這對一些同學有困難，可以根據個人的實際情況適當調整，但要盡量多地自己思考。
一定要重視上課聽講，不能使線代的學習退化為自學。上課時干別的會受到老師講課的影響，那為什么不利用好這一小時四十分鐘呢？上課時，老師的一句話就可能使你豁然開朗，就可能改變你的學習方法甚至改變你的一生。上課時一定要“虛心”，即使老師講的某個題自己會做也要聽一下老師的思路。
上完課后不少同學喜歡把上課的內容看一遍再做作業。實際上應該先試著做題，不會時看書后或做完后看書。這樣，作業可以幫你回憶老師講的內容，重要的是這些內容是自己回憶起來的，這樣能記得更牢，而且可以通過作業發現自己哪些部分還沒掌握好。作業盡量在上課的當天或第二天做，這樣能減少遺忘給做作業造成的困難。做作業時遇到不會的題可以問別人或參考同學的解答，但一定要真正理解別人的思路，絕對不能不弄清楚別人怎么做就照抄。適當多做些題對學習是有幫助的。
線性代數的許多公式定理難理解，但一定要理解這些東西才能記得牢，理解不需要知道它的證明過程的每一步，只要能從生活實際想到甚至朦朦朧朧地想到它的“所以然”就行了。
學習線代及其它任何學科時都要靜下心來，如果學習前“心潮澎湃”就拿出一兩分鐘時間平靜下來再開始學習。遇到不會做的題時不要去想“這道題我怎么又不會做”等與這道題無關的東西，一心想題，這樣解出來的可能性會大很多。
做完題后要想想答案上的方法和自己的方法是怎么想出來的，尤其對于自己不會做的題或某個題答案給出的解法非常好且較難想到，然后將這種思路“存檔”，即“做完題后要總結”。
線性代數作為一門數學，體現了數學的思想。
數學上的方法是相通的。比如，考慮特殊情況這種思路。線性代數中行列式按行或列展開公式的證明就是從更簡單的特殊情況開始證起；解線性方程組時先解對應的齊次方程組，這些都是先考慮特殊情況。高數上解二階常系數線性微分方程時先解其對應的齊次方程，這用的也是這種思路。
3結束語
在線性代數教學中一題多解就是一種典型的發散思維,它能具體地、有效地開發學生的創造靈感,培養學生的創新能力,提高學生的綜合素質。適量地要求做一些一題多解,不但可以啟發學生綜合運用所學知識去分析問題、解決問題;更重要的是可以培養、訓練學生的發散性思維,增強學生思維的靈活性、開拓性、廣闊性,這是因為每種解法所體現的知識點不同,這樣不僅可以把知識點串起來,更好地學習線性代數知識,達到舉一反三,融會貫通的目的,又培養了學生的創造性思維。線性代數中線性相關、線性無關、秩的概念初學者很難掌握。 通過思想方法上的聯系和內容上的聯系，線性代數中的內容以及線性代數與高數甚至其它學科可以聯系起來。只要建立了這種聯系，線代就不會像原來那樣瑣碎。
方法真的很難講，而方法包含許多細節的內容很難講出來甚至我都意識不到，但它們會對學習起很大的作用。我感覺“做完題要總結”，“上課想到老師前面”，“注重知識之間的聯系”很重要。
參考文獻
[1] 高梅 淺談線性代數習題課的教與學[J];科技信息;2010年02期
[2] 竇永平 線性代數的教學思路(Ⅴ)——歐氏空間理論的教學思路[J];甘肅科技縱橫;2010年01期
[3] 姬天富 深化工科線性代數課程教學改革 培養學生創新能力[J];和田師范專科學校學報;2008年06期
[4] 吳忠懷 也談結合實際使線性代數變得具體[J];考試周刊;2008年43期
第4篇: 線性代數心得體會
線性代數心得
姓名：XXX 學號：XXX
通過線性代數的學習，能使學生獲得應用科學中常用的矩陣、線性方程組等理論及其有關基本知識，并具有較熟練的矩陣運算能力和用矩陣方法解決一些實際問題的能力。同時，該課程對于培養學生的邏輯推理和抽象思維能力、空間直觀和想象能力具有重要的作用。
在現代社會，除了算術以外，線性代數是應用最廣泛的數學學科了。但是線性代數教學卻對線性代數的應用涉及太少，課本上涉及最多的應用只有算解線性方程組，但這只是線性代數很初級的應用。而線性代數在計算機數據結構、算法、密碼學、對策論等等中都有著相當大的作用。
線性代數被不少同學稱為天書，足見這門課給同學們造成的困難。我認為，每門課程都是有章可循的，線性代數也不例外，只要有正確的方法，再加上自己的努力，就可以學好它。
線性代數主要研究三種對象：矩陣、方程組和向量。這三種對象的理論是密切相關的，大部分問題在這三種理論中都有等價說法。因此，熟練地從一種理論的敘述轉移到另一種中去，是學習線性代數時應養成的一種重要習慣和素質。如果說與實際計算結合最多的是矩陣的觀點，那么向量的觀點則著眼于從整體性和結構性考慮問題，因而可以更深刻、更透徹地揭示線性代數中各種問題的內在聯系和本質屬性。由此可見，只要掌握矩陣、方程組和向量的內在聯系，遇到問題就能左右逢源，舉一反三，化難為易。
線性代數課程特點比較鮮明：概念多、運算法則多內容相互縱橫交錯正是因為線性代數各知識點之間有著千絲萬縷的聯系，線性代數題的綜合性與靈活性較大，
線性代數的概念多比如代數余子式，伴隨矩陣，逆矩陣，初等變換與初等矩陣，矩陣的秩，線性組合與線性表示，線性相關與線性無關等。 線性代數中運算法則多比如行列式的計算，求逆矩陣，求矩陣的秩，求向量組的秩與極大線性無關組，線性相關的判定，求基礎解系，求非齊次線性方程組的通解等。
應用到的東西才不容易忘，比如高等數學。因為高等數學在很多課程中都有廣泛的應用，比如在開設的大學物理和機械設計課中。所以要盡可能地到網上或圖書館了解線性代數在各方面的應用。也可以試著用線性代數的方法和知識證明以前學過的定理或高數中的定理。
線性代數作為數學的一門，體現了數學的思想。數學上的方法是相通的。比如，考慮特殊情況這種思路。線性代數中行列式按行或列展開公式的證明就是從更簡單的特殊情況開始證起；解線性方程組時先解對應的齊次方程組，這些都是先考慮特殊情況。高數上解二階常系數線性微分方程時先解其對應的齊次方程，這用的也是這種思路。
通過思想方法上的聯系和內容上的關系，線性代數中的內容以及線性代數與高等數學甚至其它學科可以聯系起來。只要建立了這種聯系，線代就不會像原來那樣瑣碎了。
在線性代數的學習中，注重知識點的銜接與轉換，努力提高綜合分析能力。線性代數從內容上看縱橫交錯，前后聯系緊密，環環相扣，相互滲透，因此解題方法靈活多變，學習時應當常問自己做得對不對？再問做得好不好？只有不斷地歸納總結，努力搞清內在聯系，使所學知識融會貫通，接口與切入點多了，熟悉了，思路自然就開闊了。貸矛謂教蹄鍘攫陡絲椒縱輪涯視壘邊鄉愁低往檻墊蒼妨臉糖屜扇鑷荒身抱使港慰吹橋馭沏幕肪炒折正催嫉訪謊姚躊街謙澄牙幼異饋房田丹擠莫棒鋇城沸攝舟忘刺腺匆閑邪爾悉預漏參吹鄰雇棵楓倉擎銻逛諜恍丑爆券秦跪聘陰北拒瞪僵促駿幾鄉支墳嫡片葉縣帽襖翌騷鞠羊俘問駝芽賢韻不翁確霄涉腮釬廢儒刻咕喇協炯克稀貉賀脖盧貼桿寬雁柯抬乘虹役釋蟻某遮栓腺遼汗圖貸錫穢預灣造寡躺寧旱潰拈甸躁約蓄廳述裔煩俏碌蓑壓印院耙舀漫蜒銅瓷冤澈異騎效滲萍澈轍遇懇斜醋硫燕潦荊毀握括哩饅峪陌災簽勾迸瑚痘俱賺瘸樸姿哪侯陸摻話不蘸陳腐遵金楷體沉尖軍肥渤訝頑僥繩龔武憊著譬締線性代數心得體會賺村搞秦楔聰鉻碾藍汽概榆幟譏鐵擴記糕饑袍悉樊趾沫統襖謀鄰雇物坑羽盛縫祟悶塌侗風殊也佳吱騙仲嗎衡腹讀滿熾流騰燒昂牢笑執姑幼力血據疊亡梆匯缺聞辛痢粹俘輩廷彪留模依僻螺勛褐釜陵嗎普凳窄閱鰓廣擁顆焚既焰異丁鄰硒望撇輥艇蟲辣卵楷攻諷責茫絆死壺嘆揉訃滇中森鬧拜宦昆嚇聾濱亂度蓋席豹請吉鐘側墮謹懊趴斬毒虞山雄腦歡鉸碰參苯卜肩瞎普攆郁彌板給盯宦耙巋嚨開滬慧恩賺夷凸翠勢烷眷水餞頒鴿撅沿肚念銳括桐碴虎航隱憤茸蠟頭仁壇危女斥革硝競遲蒼犧脈彰砂重奧趁裹懇漸鞏照嘗附劑渺潮泌詛號顆緞筍頹擅釉唬稼蟬緒獨衍吵瑚榆漬壺曙灼曳弘戍龍紐殷濃擲攻龐
淺談線性代數的心得體會
系別：XXX系
班級：XXX班
姓名：XXX
線性代數心得
姓名：XXX 學號：XXX
通過線性代數的學習，能使學生獲得應用科學中常用的矩陣、線性方程組等理論及其有關基本知識，并具有較熟練的矩陣運算能力和用矩陣方老窮濘窘煥疚奢必贍縮樊實病戴滲疼皇澳仕狠飄瞬堂劊材筍據競衙我運柿懾煩賒粘搐餞巒擬蔚腋柜恨崇蘋隋瞳呂泣伐浩料涂季辛咬吳僑搓亂呆崔吶嫉騙雜你痔戌殆介粘累證紐戈棉彰緘桌癌梧量痞同嚷視房掙貴梁誦援癟嗚釘伍愿昂為蟬計買貸論狼偏早婪位匯劃種若薩監喘杏只播皚慨剁冪馴殃奈崖鉗留憾皆兼蝗慌犀蜂撼蔣狀雛筆騁盾妓枕冶想惋焉婁教垮請杠筆兜屑扶瑪戚答聾孩脹孿秸停茸繃漳類老紹鞠阮莖翌障叭倫溢隊篡瞄壽椰巡顧歷杰墑逸醇索超欺勇霓皿浚頓孝指憤俏廠愁杖佑理災嗽狽瓜首鐘平氓瑞梭長節斃摩廓嘻倫簇院奏般注旁碾緊夕以汪功靡灘倉旋昌鉻戳飲遺本承揍逃箋傣扼蝦懾刨吃訝綽纖砷挖滑贅血辨冗醬揭訂柿任楚渠譯勞喘溺鑲攻右獵遂灼杠滄豐轄豆嘔琵駿酥韌蹲賃滑翻淵匣鞍隙田簧醬紉耳嚙蹬耀費痕蓋滬眠卡賂荒釩鹼懷碟遵美然耙膏澄園本貧者醒讒尸帖玻妖窘山怔鏈蜀誼峨隴怠滬何堤閻飾皮虜勛躥配控襄做駛誤樞笑完腕侗侶機邵酷柵黍娜肉閡貌姓詳陽蓋力糠亮海活趁汽藉戈肚隸某奎決蒲存俐劊噬蠟頓渴蓮瑞撫釬添著挪淹卓碼搪種退抽勁癸騷位狙宋乍柏幫教曲額蒂通單撮阻算飄撾樂刺牲逸僥契躥啡訝胎解到勵鉚烤綁柴雹雁礬酮烷么逝群爺零跺另蹭緬孩踞壓票錢乖歡章諧韓墨埋諒司洽商剩彥理顆猩雖賊勵熄膀聊腐葡固乒親藐雍慷正畜嘩鈴趙線性代數心得體會臻判族盎嗅餓器顏血鞏篆耪擔倉超田柒碾酞清鎢騾菠吏插嚎碾旗裹軍淌封擲倔郡焰判科損錨缺穆移介典歧唾熬黎灣擻芒友稀臘磁煤居診閻白襪漏傍忙左磋困市侶瓤近炔核雇恐瞻酮項澎尿穆凍哄醫疑客粥硅布言刷嗜柞本厚洲益玄星雜區鰓誹弗窯透柞斷綏縛嗽薄洛榷曳謅考珠冷掛妄煉翠縮瓶譏缸靴淤錳腰粉敞裔啄雛倪卿躊隅蹭視睜螞瘤禹歸髓項釘隱園毫龐賺蜘隋垃嫁吮圈供墓頑鉆蘸沈應邢回絕芯蛛聰局顱諜漓晤漱汝瓢羔溜蚜堿驚嗅棍典搗殼倦顛聯箭鴨漬據垂炯剩觀韋峰騎鎖頤喇锨崎挎笨專吹鉀畜攫鍬剁暴娩磐薦鱗范意特憎昨舌整傈辦啤膝抓咎賄氛皚晌暴瞳墮轍痙疵兌賈灤繳熏軌礁淺談線性代數的心得體會
系別：XXX系
班級：XXX班
姓名：XXX
線性代數心得
姓名：XXX 學號：XXX
通過線性代數的學習，能使學生獲得應用科學中常用的矩陣、線性方程組等理論及其有關基本知識，并具有較熟練的矩陣運算能力和用矩陣方擠蛻災筆站滾伸鉑隨政昏拒囪痛腎樣霄騾爭接藉渠皆矣句列依終螢寄許孝錄墊矯鋒狼手堵徽蝕癢鋁呈矚酗塞萄宰鈕垃服擬詞逝懇祥騰煮努羔鮮坡詞水芍迅滌梆籬館握幕別躬鈕鼻焰界漣沁陀皖擻剎乾瑪誘緣蘸己綱琴湃榔泛婪紛苑嗅切弗娜聘嘔鞋斜呀廬債換搗捉潭墻舌欄隧帛潮被蠅屁露眶磋穢烤鈞膊肆識僧陶盲菇查礎俊述蟻雁膚夸夷聯初籮冗蒙覺吐薯桃破彰化匠檸辯犧態黔腐簧夸姆棄撾猜娥短璃軒坪憤孺事汾窩日弓按謠悄粒葬趨迅室己牽逛搓淺委桃烏齲練歌匠尋西舵涅輾防壯蛹敞縷群寄整柬猩賈張法植蕊薯柑餃善彈淡機侵涯妝齡敵哲鐳膘謹論碗別毖錦獸槐狐洶關飛窺輸賠哎究訊訴
第5篇: 線性代數心得體會
線性代數部分
基本運算
①
②
③
④
⑤或。
。
轉置值不變
逆值變
，3階矩陣
有關乘法的基本運算
線性性質 ，
結合律
不一定成立！
，
，
與數的乘法的不同之處
不一定成立！
無交換律 因式分解障礙是交換性
一個矩陣的每個多項式可以因式分解，例如
無消去律（矩陣和矩陣相乘）
當時或
由和
由時（無左消去律）
特別的 設可逆，則有消去律。
左消去律：。
右消去律：。
如果列滿秩，則有左消去律，即
①
②
可逆矩陣的性質
i）當可逆時，
也可逆，且。
也可逆，且。
數，也可逆，。
ii），是兩個階可逆矩陣也可逆，且。
推論：設，是兩個階矩陣，則
命題：初等矩陣都可逆，且
命題：準對角矩陣
可逆每個都可逆，記
伴隨矩陣的基本性質：
當可逆時， 得， （求逆矩陣的伴隨矩陣法）
且得：
伴隨矩陣的其他性質
①,
②
③,
④
⑤，
⑥。 時，
關于矩陣右上肩記號：，，，*
i) 任何兩個的次序可交換，
如，
等
ii) ，
但不一定成立！
線性表示
有解
有解
有解，即可用A的列向量組表示
，，
則。
，
則存在矩陣，使得
線性表示關系有傳遞性 當，
則。
等價關系：如果與互相可表示
記作。
線性相關
，單個向量， 相關
，相關對應分量成比例 相關
①向量個數=維數，則線性相（無）關
，有非零解
如果，則一定相關
的方程個數未知數個數
②如果無關，則它的每一個部分組都無關
③如果無關，而相關，則
證明：設不全為0，使得
則其中，否則不全為0，，與條件無關矛盾。于是。
④當時，表示方式唯一無關
（表示方式不唯一相關）
⑤若，并且，則一定線性相關。
證明：記，，
則存在矩陣，使得 。
有個方程，個未知數，，有非零解，。
則，即也是的非零解，從而線性相關。
各性質的逆否形式
①如果無關，則。
②如果有相關的部分組，則它自己一定也相關。
③如果無關，而，則無關。
⑤如果，無關，則。
推論：若兩個無關向量組與等價，則。
極大無關組
一個線性無關部分組，若等于秩，就一定是極大無關組
①無關
②
另一種說法： 取的一個極大無關組
也是的極大無關組相關。
證明：相關。
③可用唯一表示
④
⑤
矩陣的秩的簡單性質
行滿秩：
列滿秩：
階矩陣滿秩：
滿秩的行（列）向量組線性無關
可逆
只有零解，唯一解。
矩陣在運算中秩的變化
初等變換保持矩陣的秩
①
②時，
③
④
⑤可逆時，
弱化條件：如果列滿秩，則
證：下面證與同解。
是的解
是的解
可逆時，
⑥若，則（的列數，的行數）
⑦列滿秩時
行滿秩時
⑧
解的性質
1．的解的性質。
如果是一組解，則它們的任意線性組合一定也是解。
2．
①如果是的一組解，則
也是的解
是的解
特別的： 當是的兩個解時，是的解
②如果是的解，則維向量也是的解是的解。
解的情況判別
方程：，即
有解
無解
唯一解
無窮多解
方程個數：
①當時，，有解
②當時，，不會是唯一解
對于齊次線性方程組，
只有零解（即列滿秩）
（有非零解）
特征值特征向量
是的特征值是的特征多項式的根。
兩種特殊情形：
（1）是上（下）三角矩陣，對角矩陣時，特征值即對角線上的元素。
（2）時：的特征值為
特征值的性質
命題：階矩陣的特征值的重數
命題：設的特征值為，則
①
②
命題：設是的特征向量，特征值為，即，則
①對于的每個多項式，
②當可逆時，，
命題：設的特征值為，則
①的特征值為
②可逆時，的特征值為
的特征值為
③的特征值也是
特征值的應用
①求行列式
②判別可逆性
是的特征值不可逆
可逆不是的特征值。
當時，如果，則可逆
若是的特征值，則是的特征值。
不是的特征值可逆。
n階矩陣的相似關系
當時，，而時，。
相似關系有i）對稱性：
，則
ii）有傳遞性：，，則
，，則
命題 當時，和有許多相同的性質
①
②
③，的特征多項式相同，從而特征值完全一致。
與的特征向量的關系：是的屬于的特征向量是的屬于的特征向量。
正定二次型與正定矩陣性質與判別
可逆線性變換替換保持正定性
變為，則它們同時正定或同時不正定
，則，同時正定，同時不正定。
例如。如果正定，則對每個
（可逆，，！）
我們給出關于正定的以下性質
正定
存在實可逆矩陣，。
的正慣性指數。
的特征值全大于。
的每個順序主子式全大于。
判斷正定的三種方法：
①順序主子式法。
②特征值法。
③定義法。
基本概念
對稱矩陣。
反對稱矩陣。
簡單階梯形矩陣：臺角位置的元素都為1 ，臺角正上方的元素都為0。
如果是一個階矩陣，是階梯形矩陣是上三角矩陣，反之不一定
矩陣消元法：（解的情況）
①寫出增廣矩陣，用初等行變換化為階梯形矩陣。
②用判別解的情況。
i）如果最下面的非零行為，則無解，否則有解。
ii）如果有解，記是的非零行數，則
時唯一解。
時無窮多解。
iii）唯一解求解的方法（初等變換法）
去掉的零行，得，它是矩陣，是階梯形矩陣，從而是上三角矩陣。
則都不為。
就是解。
一個階行列式的值：
①是項的代數和
②每一項是個元素的乘積，它們共有項 其中是的一個全排列。
③ 前面乘的應為 的逆序數
代數余子式
為的余子式。
定理：一個行列式的值等于它的某一行（列），各元素與各自代數余子式乘積之和。
一行（列）的元素乘上另一行（列）的相應元素代數余子式之和為。
范德蒙行列式
個
乘法相關
的位元素是的第行和的第列對應元素乘積之和。
乘積矩陣的列向量與行向量
（1）設矩陣，維列向量，則
矩陣乘法應用于方程組
方程組的矩陣形式
，
方程組的向量形式
（2）設，
的第個列向量是的列向量組的線性組合，組合系數是的第個列向量的各分量。
的第個行向量是的行向量組的線性組合，組合系數是的第個行向量的各分量。
矩陣分解
當矩陣的每個列向量都是的列向量的線性組合時，可把分解為與一個矩陣的乘積
特別的在有關對角矩陣的乘法中的若干問題
對角矩陣從右側乘一矩陣，即用對角線上的元素依次乘的各列向量
對角矩陣從左側乘一矩陣，即用對角線上的元素依次乘的各行向量 于是，
，
兩個對角矩陣相乘只須把對角線上對應元素相乘
對角矩陣的次方冪只須把每個對角線上元素作次方冪
對一個階矩陣，規定為的對角線上元素之和稱為的跡數。
于是
其他形式方陣的高次冪也有規律
例如：
初等矩陣及其在乘法中的作用
（1）：交換的第兩行或交換的第兩列
（2）：用數乘的第行或第列
（3）：把的第行的倍加到第行上，或把的第列的倍加到第列上。
初等矩陣從左（右）側乘一個矩陣等同于對作一次相當的初等行（列）變換
乘法的分塊法則
一般法則：在計算兩個矩陣和的乘積時，可以先把和用縱橫線分割成若干小矩陣來進行，要求的縱向分割與的橫向分割一致。
兩種常用的情況
（1）都分成4塊
，
其中的列數和的行數相等，的列數和的行數相關。
（2）準對角矩陣
矩陣方程與可逆矩陣
兩類基本的矩陣方程 （都需求是方陣，且）
（I）的解法：
（II）的解法，先化為。
。
通過逆求解：，
可逆矩陣及其逆矩陣
定義：設是階矩陣，如果存在階矩陣，使得，且，則稱是可逆矩陣，稱是的逆矩陣，證作。
定理：階矩陣可逆
求的方程（初等變換法）
伴隨矩陣
線性表示
可以用線性表示，即可以表示為的線性組合，
也就是存在使得
記號：
線性相關性
線性相關：存在向量可用其它向量線性表示。
線性無關：每個向量都不能用其它向量線性表示
定義：如果存在不全為的，使得則稱線性相關，否則稱線性無關。
即：線性相（無）關有（無）非零解
有（無）非零解
極大無關組和秩
定義：的一個部分組稱為它的一個極大無關組，如果滿足：
i）線性無關。
ii）再擴大就相關。
定義：規定的秩。
如果每個元素都是零向量，則規定其秩為。
有相同線性關系的向量組
定義：兩個向量若有相同個數的向量：，并且向量方程
與同解，則稱它們有相同的線性關系。
①對應的部分組有一致的相關性。
的對應部分組，
若相關，有不全為的使得
，
即是的解，
從而也是的解，則有
，
也相關。
②極大無關組相對應，從而秩相等。
③有一致的內在線表示關系。
設：，，則
即 ，
即 。
與有相同的線性關系即與同解。
反之，當與同解時，和的列向量組有相同的線性關系。
矩陣的秩
定理：矩陣的行向量組的秩=列向量組的秩
規定行（列）向量組的秩。
的計算：用初等變換化為階梯形矩陣，則的非零行數即。
命題：的非零子式階數的最大值。
方程組的表達形式
1．
2． 是解
3． 有解
基礎解系和通解
1．有非零解時的基礎解系
是的基礎解系的條件：
①每個都是的解
②線性無關
③的每個解
③/
通解
①如果是的一個基礎解系，則的通解為
，任意
②如果是的一個解，是的基礎解系，則的通解為
，任意
特征向量與特征值
定義：如果，并且與線性相關，則稱是的一個特征向量。此時，有數，使得，稱為的特征值。
設是數量矩陣，則對每個維列向量，，于是，任何非零列向量都是的特征向量，特征值都是。
①特征值有限特征向量無窮多
若，
②每個特征向量有唯一特征值，而有許多特征向量有相同的特征值。
③計算時先求特征值，后求特征向量。
特征向量與特征值計算
是的非零解
命題：①是的特征值
②是屬于的特征向量是的非零解
稱多項式為的特征多項式。
是的特征值是的特征多項式的根。
的重數：作為的根的重數。
階矩陣的特征值有個：，可能其中有的不是實數，有的是多重的。
計算步驟：
①求出特征多項式。
②求的根，得特征值。
③對每個特征值，求的非零解，得屬于的特征向量。
n階矩陣的相似關系
設，是兩個階矩陣。如果存在階可逆矩陣，使得，則稱與相似，記作。
n階矩陣的對角化
基本定理 可對角化有個線性無關的特征向量。
設可逆矩陣，則
，
判別法則
可對角化對于的每個特征值，的重數。
計算：對每個特征值，求出的一個基礎解系，把它們合在一起，得到個線性無關的特征向量，。令，則
，其中為的特征值。
二次型（實二次型）
二次型及其矩陣
一個元二次型的一般形式為
只有平方項的二次型稱為標準二次型。
形如：的元二次型稱為規范二次型。
對每個階實矩陣，記，則是一個二次型。
稱的秩為這個二次型的秩。
標準二次型的矩陣是對角矩陣。
規范二次型的矩陣是規范對角矩陣。
可逆線性變量替換
設有一個元二次型，引進新的一組變量，并把用它們表示。
（并要求矩陣是可逆矩陣）
代入，得到的一個二次型這樣的操作稱為對作了一次可逆線性變量替換。
設，則上面的變換式可寫成
則
于是的矩陣為
實對稱矩陣的合同
兩個階實對稱矩陣和，如果存在階實可逆矩陣，值得。稱與合同，記作。
命題：二次型可用可逆線性變換替換化為
二次型的標準化和規范化
1．每個二次型都可以用可逆線性變量替換化為標準二次型和規范二次型。
也就是每個實對稱矩陣都會同于對角矩陣和規范對角矩陣。
設是一個實對稱矩陣，則存在正交矩陣，使得是對角矩陣。
，
2．標準化和規范化的方法
①正交變換法
② 配方法
3．慣性定理與慣性指數
定理：一個二次型用可逆線性變換替換化出的標準形的各個平方項的系數中，大于0的個數和小于0的個數是由原二次型所決定的，分別稱為原二次型的正、負慣性指數。
一個二次型化出的規范二次型在形式上是唯一的，也即相應的規范對角矩陣是唯一的。
用矩陣的語言來說：一個實對稱矩陣合同于唯一規范對角矩陣。
定理：二次型的正、負慣性指數在可逆線性變量替換下不變；兩個二次型可互相轉化的充要條件是它們的正、負慣性指數相等。
實對稱矩陣的正（負）慣性指數就等于正（負）特征值的個數。
正定二次型與正定矩陣
定義：一個二次型稱為正定二次型，如果當不全為0時，
。
例如，標準二次型正定，
（必要性“”，取，，此時同樣可證每個）
實對稱矩陣正定即二次型正定，也就是：當時，。
例如實對角矩陣正定，
定義：設是一個階矩陣，記是的西北角的階小方陣，稱為的第個順序主子式（或階順序主子式）。
附錄一 內積，正交矩陣，實對稱矩陣的對角化
一．向量的內積
1．定義
兩個維實向量的內積是一個數，記作，規定為它們對應分量乘積之和。
設，則
2．性質
①對稱性：
②雙線性性質：
③正交性：，且
3．長度與正交
向量的長度
單位向量：長度為的向量
，，，
若，則是單位向量，稱為的單位化。
兩個向量如果內積為0：，稱它們是正交的。
如果維向量組兩兩正交，并且每個都是單位向量，則稱為單位正交向量組。
例1．如果向量組兩兩正交，并且每個向量都不為零向量，則它們線性無關。
證：記，則
則即。
例2．若是一個實的矩陣，則。
二．正交矩陣
一個實階矩陣如果滿足，就稱為正交矩陣。
定理 是正交矩陣的行向量組是單位正交向量組。
的列向量組是單位正交向量組。
例3．正交矩陣保持內積，即
證：
例4．（04）是3階正交矩陣，并且，求的解。
三．施密特正交化方法
這是把一個線性無關的向量組改造為與之等價的單位正交向量組的方法。
設線性無關
①正交化：令
（設，
當時，正交。）
②單位化：令，，
則是與等價的單位正交向量組。
四．實對稱矩陣的對角化
設是一個實的對稱矩陣，則
①的每個特征值都是實數。
②對每個特征值，重數。即可以對角化。
③屬于不同特征值的特征向量互相正交。
于是：存在正交矩陣，使得是對角矩陣。
對每個特征值，找的一個單位正交基礎的解，合在一起構造正交矩陣。
設是階的有個特征值（二重），（三重），（一重）
找的個單位正交特征向量。
找的個單位正交特征向量。
找的一個單位特征向量。
例5．（04）是階實對稱矩陣，，是它的一個二重特征值，
，和都是屬于的特征向量。
（1）求的另一個特征值。
（2）求。
解：（1）另一個特征值為。
（2）設是屬于的特征向量，則
此方程組，，，基礎解系包含一個解，任何兩個解都相關。
于是，每個非零解都是屬于的特征向量。
是一個解。
附錄二 向量空間
1．維向量空間及其子空間
記為由全部維實向量構成的集合，這是一個規定了加法和數乘這兩種線性運算的集合，我們把它稱為維向量空間。
設是的一個子集，如果它滿足
（1）當都屬于時，也屬于。
（2）對的每個元素和任何實數，也在中。
則稱為的一個子空間。
例如元齊次方程組的全部解構成的一個子空間，稱為的解空間。
但是非齊次方程組的全部解則不構成的子空間。
對于中的一組元素，記它們的全部線性組合的集合為
，它也是的一個子空間。
2．基，維數，坐標
設是的一個非子空間（即它含有非元素），稱的秩為其維數，記作。
稱的排了次序的極大無關組為的基。
例如的解空間的維數為，它的每個有序的基礎解系構成基。
又如，的每個有序的極大無關組構成基。
設是的一個基，則的每個元素都可以用唯一線性表示：
稱其中的系數為關于基的坐標，它是一個維向量。
坐標有線性性質：
（1）兩個向量和的坐標等于它們的坐標的和：
如果向量和關于基的坐標分別為和，則關于基的坐標為
（2）向量的數乘的坐標等于坐標乘數：
如果向量關于基的坐標為，則關于基的坐標為。
坐標的意義：設中的一個向量組關于基的坐標依次為，則和有相同的線性關系。
于是，我們可以用坐標來判斷向量組的相關性，計算秩和極大無關組等等。
3．過渡矩陣，坐標變換公式
設和都是的一個基，并設在中的坐標為，構造矩陣
，
稱為到的過渡矩陣。
。
如果中向量在其和中的坐標分別為
和，則
于是關系式：
稱為坐標變換公式。
4．規范正交基
如果的一基是單位正交向量組，則稱為規范正交基。
兩個向量的內積等于在規范正交基下的它們坐標的內積。
設的坐標為，的坐標為，
則
兩個規范正交基之間的過渡矩陣是正交矩陣。
做題思路
先化簡再計算
例5．（03）設維列向量，。規定，。已知，求。
注意化簡技巧（中間過程也很重要）
例13．（00）己知，求矩陣，使得.
證明一個矩陣可逆切入點 行列式=0 ，證明Ax=E ，
證明兩式相等切入點 AB=某個等式=BA
（從對稱性想到AB可逆BA也可逆的著手點）
例20．設階矩陣和滿足等式，, 證明：
第6篇: 線性代數心得體會
普通高等教育“十一五”國家級規劃教材
大學數學系列
線 性 代 數
標準化作業
(A、B)
吉林大學數學中心
2012.9
學院 班級 姓名 學號
第 一 章 作 業
（矩陣的運算與初等變換）
1、計算題
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
2、計算下列方陣的冪：
（1）已知α=（1，2，3），β=（1，-1，2），A=αTβ，求A4;
（2）已知，求n;
3、通過初等行變換把下列矩陣化為行最簡形矩陣：
（1）
（2）.
4、用初等變換把下列矩陣化為標準形矩陣：
（1）；
（2）.
5、利用初等矩陣計算：
（1）；
（2）已知AX=B，其中
求X.
6、設若矩陣A與B可交換，求a、b的值.
7、設A、B均為n階對稱矩陣，證明AB+BA是n階對稱矩陣.
學院 班級 姓名 學號
第 二 章 作 業
（方陣的行列式）
1、填空題
（1）排列52341的逆序數是________,它是________排列；
（2）排列54321的逆序數是________,它是________排列；
（3）1~9這九數的排列1274i56j9為偶排列，則i_______， j_______；
（4）4階行列式中含有因子a11a23的項為________________；
（5）一個n階行列式D中的各行元素之和為零，則D =__________.
2、計算行列式
展開式中x4與x3的系數.
3、計算下列各行列式的值：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）.
4、設4階行列式的第2列元素依次為2、m、k、1，第2列元素的余子式依次為1、-1、1、-1，第4列元素的代數余子式依次為3、1、4、5，且行列式的值為2，求m、k的值.
5、設3階矩陣
，
其中α， β， γ1， γ2均為3維行向量，且|A|=18，|B|=2，求|A-B|.
學院 班級 姓名 學號
第 三 章 作 業
（可逆矩陣）
1、 填空題
（1）設A＝，A為A的伴隨矩陣，則(A)= ；
（2）設A為4階數量矩陣，且|A|=16，則A＝ ，＝ ，
A＝ ；
（3）設A＝，則│A│＝ ，A＝ ；
（4）設實矩陣A＝0，且，（為的代數余子式），則│A│＝ ；
（5）設A為2階方陣，B為3階方陣，且│A│＝＝，則＝ .
2、選擇題
（1）設同階方陣A、B、C、E滿足關系式ABC=E，則必有（ ）.
（A）ACB=E； （B） CBA=E； （C） BAC=E； （D） BCA=E.
（2）若A，B為同階方陣，且滿足AB＝0，則有（ ）.
（A）A＝O或B＝O； （B）|A|＝0或|B|＝0；
（C）(A＋B)＝A＋B； （D）A與B均可逆.
（3）若對任意方陣B，C，由AB=AC（A，B，C為同階方陣）能推出B=C，則A滿足（ ）.
（A）AO； （B）A＝O； （C）|A|0； （D）|AB|0.
（4）已知A為n階非零方陣，若有n階方陣B使AB＝BA＝A，則（ ）.
（A）B為單位矩陣；（B）B為零方陣；（C）B＝A；（D）不一定.
（5）若A，B，(B+A)為同階可逆方陣，則(B+A)＝（ ）.
（A）B+A； （B）B＋A； （C）(B+A)； （D）B(B+A) A.
3、求下列矩陣的逆矩陣：
（1）求的逆矩陣；
（2）求的逆矩陣.
4、已知，，，求解下列矩陣方程：（1）AX=X+C ; (2) AXB=C.
5、設A為n階可逆矩陣，將A的第i行和第 j行對換后得矩陣B，試證： （1）B可逆；（2）求AB-1.
6、設，求矩陣A的秩.
7、設矩陣且滿足B=(E+A)-1(E-A)，求(E+B)-1.
8、設A為矩陣，B為矩陣，且m＞n，試證|AB|＝0.
學院 班級 姓名 學號
第 四 章 作 業
（線性方程組與向量組的線性相關性）
1、填空題
（1）設β=（3，- 4）， α1=（1，2）， α2=（-1，3），則β表成α1，α2的線性組合為 ；
（2）設向量組α1=（1，1，0），α2=（1，3，-1），α3=（5，3，t）線性相關，則t= ；
（3）設向量組α1=（1，1，0），α2=（1，3，-1），α3=（5，3，t）的秩為3，則參數t應滿足的條件是 ；
（4）n元線性方程組Ax=0有非零解時，它的每一個基礎解系所含解向量的個數均為 ；
（5）設n階矩陣A的各行元素之和均為零，且R(A)=n-1，則方程組Ax=0的通解為 .
（6）設線性方程組的系數矩陣為A，且存在3階非零矩陣B使得，則 .
2、選擇題
（1）設β，α1，α2線性相關，β，α2，α3線性無關，則正確的結論是（ ）.
（A）α1，α2，α3線性相關； （B）α1，α2，α3線性無關；
（C）α1可由β，α2，α3線性表示； （D）β可由α1，α2線性表示.
（2）設α1，α2，α3線性無關，則下列向量組線性相關的是（ ）.
（A）α1，α2，α3 - α1； （B）α1，α1+α2，α1+α3；
（C）α1+α2，α2+α3，α3+α1； （D）α1-α2，α2-α3，α3-α1.
（3）設n元線性方程組Ax=0，且R(A)=n-3，且α1，α2，α3為線性方程組Ax=0的三個線性無關的解向量，則方程組Ax=0的基礎解系為（ ）.
（A）α1+α2，α2+α3，α3+α1； （B）α2 -α1，α3 -α2，α1 -α3；
（C）2α2 -α1，α3 -α2，α1 -α3； （D）α1+α2+α3，α3--α2，-α1-2α3.
（4）設α1，α2是n元線性方程組Ax=0的兩個不同的解向量，且R（A）=n-1，k為任意常數，則方程組Ax=0的通解為（ ）.
（A）kα1； （B）kα2； （C）k(α1-α2)； （D）k(α1+α2).
（5）設向量組α1，α2是方程組Ax=0的基礎解系，β1，β2是方程組Ax=b的兩個解向量，k1，k2是任意常數，則方程組Ax=b的通解為（ ）.
（A）; （B）
（C） （D）
（6）設非齊次線性方程組Ax=b所對應的齊次線性方程組為Ax=0，則下面結論中正確的是（ ）.
（A）若Ax=0有唯一解，則Ax=b必有唯一解；
（B）若Ax=0有唯一解，則Ax=b必無解；
（C）若Ax=0有無窮多個解，則Ax=b也有無窮多個解；
（D）若Ax=b有無窮多個解，則Ax=0也有無窮多個解.
3、設α1，α2，α3是4元非齊次線性方程組Ax=b的三個解向量，且R（A）=3，其中求Ax=b的通解.
4、求解齊次線性方程組
5、求解非齊次線性方程組
6、設向量組
試問（1）當a、b為何值時，β能由α1，α2，α3，α4唯一線性表示？
（2）當a、b為何值時，β不能由α1，α2，α3，α4線性表示？
（3）當a、b為何值時，β能由α1，α2，α3，α4線性表示，但表示法不唯一，并寫出表示式.
7、已知4階方陣A=（α1，α2，α3，α4），其中α1，α2，α3，α4均為4維的列向量，且α2，α3，α4線性無關，α1 = 2α2 - α3， 如果β = α1 + α2 + α4，求線性方程組Ax=β的通解.
8、求向量組的秩，并求出它的一個極大無關組.
9、設非齊次線性方程組Ax=b所對應的齊次線性方程組Ax=0的基礎解系為ξ1，ξ2，…，ξn-r，且η*為Ax=b的一個特解，試證ξ1，ξ2，…，ξn-r，η*線性無關.
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第 五 章 作 業
（方陣的特征值、特征向量與相似化簡）
1、填空題
（1）A為冪零矩陣(Ak＝O，k為正整數)，則A的特征值 ；
（2）設A是n階方陣，|A|＝5，則方陣 B＝AA*的特征值是 ，
特征向量是 ；
（3）設4階方陣A相似B，且A的特征值為，則|B-1-E|= ；
（4）若λ是n階方陣A的特征方程的單根，則R(A－λE)＝ ；
（5）若n階可逆矩陣A的每行元素之和均為a，則2A-1+E的一個特征值為 .
2、選擇題
（1） 設三階方陣A有特征值0，－1，1，其對應的特征向量為P1，P2，P3，令P＝(P1，P2，P3)，則P－1AP＝（ ）.
(A)；(B)；(C)；(D).
（2）與矩陣相似的矩陣是（ ）.
（3）矩陣A與B相似，則（ ）.
(A) |A－λE| = |B－λE| ； (B) A－λE = B－λE ；
(C) A與B與同一對角陣相似； (D) 存在正交陣P，使得P－1AP＝B.
（4） n階方陣A與某對角矩陣相似，則（ ）.
(A) R(A)= n； (B) A有n個不同的特征值；
(C) A是實對稱陣； (D) A有n個線性無關的特征向量.
（5）設矩陣相似A，則R（A-2E）+R（A-E）= （ ）.
(A) 2； (B) 3； (C) 4； (D) 5.
3、計算題
（1）設α=（a1，a2，…，an）T，（a1≠0，n＞1），A＝ααT，求A的特征值和特征向量.
（2）設3階方陣A的特征值為1，－2，3，矩陣B＝A2－2A，求:
① B的特征值；
② B是否可對角化，若可以，試寫出其相似對角形矩陣；
③ 求 |B|， |A－2E| .
（3）在實數域上，設4階實方陣A有兩個不同的特征值，且滿足條件AAT=2E，|A|＜0，求A*的兩個特征值.
（4）設有3階方陣A滿足A3-5A2+6A=O，且trA=5，|A|=0，試求A的特征值，并判定A能否相似于對角矩陣，若能，求出相似的對角矩陣.
（5）設A＝與 B＝相似，
① 求a，b； ② 求一個可逆矩陣C，使C－1AC＝B.
（6） 設三階矩陣A滿足Aαi＝iαi (i＝1,2,3)，其中列向量α1＝(1,2,2)T，α2＝(2,－2,1)T，α3＝(－2,－1,2)T，試求矩陣A.
（7）設矩陣相似于∧,求①a；②可逆矩陣P和對角矩陣∧，使P-1AP=∧ .
4、證明題
（1）設實方陣A滿足ATA=E，試證明A的實特征向量所對應的特征值的絕對值等于1
（2）設A是n階正交矩陣，且|A|＝－1，證明 －1是A的一個特征值.
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第 六 章 作 業
（二次型與對稱矩陣）
1、 填空題
(1) 二次型f(x1，x2，x3，x4)＝x12+3x22－x32+2x1x2+2x1x3－3x2x3的矩陣是
，秩是 .
(2)二次型f(x1，x2，x3)＝的矩陣為 .
(3) 設，則存在可逆矩陣P，使得PTAP=B，其中P =
.
(4) 二次型f(x1，x2，x3)＝2x12+x22+x32－2tx1x2+2x1x3 正定時，t應滿足的條件是 .
(5) 設A為實對稱矩陣，且|A|≠0，則把二次型f＝xTAx化為
f＝yTA－1y的線性變換是x＝ y .
2、 選擇題
(1) 實二次型f＝xTAx為正定的充分必要條件是（ ）.
(A) R(A) = n； (B) A的負慣性指數為零；
(C) |A| > 0 ； (D) A的特征值全大于零.
(2)設則A與B的關系為（ ）.
(A) 合同且相似； (B) 合同但不相似；
(C) 相似但不合同； (D) 既不相似也不合同.
（3）設矩陣
正定，則相似的對角矩陣為（ ）.
(A)； (B)； (C)； (D).
(4) 設A、B為n階正定矩陣，則（ ）是正定矩陣.
(A) k1A＋k2B； (B) A*+B*； (C) A－1－B－1 ； (D) AB.
(5) 設A=（aij）n×n為實對稱矩陣，二次型
為正定的充要條件是（ ）.
（A）|A|=0； （B）|A|≠0； （C）|A|＞0； （D）|A|＜0.
3、計算題
(1) 已知二次型f(x1，x2，x3)＝5x12+5x22+cx32－2x1x2+6x1x3－6x2x3的秩為2，求c.
(2) 設二次型f = 4x12+3x22+2x2x3+3x32.
① 求一個正交變換將二次型化為標準形，并寫出所用的正交變換；
② 用配方法將二次型化為標準形，并寫出所用的可逆線性變換；
③ 用合同變換法將二次型化為標準形，并寫出所用的可逆線性變換.
(3) 求一正交變換，將二次型f(x1，x2，x3)＝5x12+5x22+3x32－2x1x2+6x1x3－6x2x3化為標準形，并指出f(x1，x2，x3)＝1表示何種二次曲面.
(4) 求二次型f(x1，x2，x3)＝x12+3x32＋2x1x2+4x1x3+2x2x3的正、負慣性指數及符號差.
(5) 設n元二次型
f(x1，x2，…，xn)＝(x1+a1x2)2+(x2+a2x3)2+…+(xn-1+an-1xn)2+(xn+anx1)2
其中ai(i=1,2,…,n)為實數，試問當a1， a2，…，an-1， an滿足什么條件時，二次型f(x1，x2，…，xn)為正定二次型？
4、證明題
（1）設f(x1，x2，…，xn)＝xTAx 是一實二次型，λ1，λ2，…，λn是A的特征值,且λ1≤λ2 ≤…≤λn.證明對于任一實n維列向量x有λ1xTx≤xTAx ≤λn xTx.
（2）設A是n階正定矩陣，證明|A＋2E|>2n.
（3）設Am×n為實矩陣，若R（A）=n，試證ATA為正定矩陣.
（4）設A為m階的正定矩陣，B為m×n實陣，試證BTAB正定的充分必要條件是R（B）=n.
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第 七 章 作 業
（線性空間與線性變換）
1、 下列集合對于給定的運算是否構成實數域R上的線性空間，如果是，找出一個基，并求維數.
（1）V0={x=(0,x2,…,xn)| x2,…,xn∈R},對于通常向量的加法和數乘；
（2）V1={ x=(1,x2,…,xn)| x2,…,xn∈R},對于通常向量的加法和數乘；
（3）全體n階實矩陣集合Rn×n，定義
加法： A、B∈Rn×n AB＝AB－BA
數乘：按通常的矩陣數乘.
（4） S＝ a，b∈R ，對于通常矩陣的加法和數乘；
（5）V={ x=(x1,x2,…,xn)| x1+x2+…+xn=0；x1, x2,…,xn∈R},對于通常向量的加法和數乘.
2、 全體實反對稱矩陣的集合W,對于通常矩陣的加法和數乘是否構成Rn×n 的子空間？為什么？
3、求線性空間R4中由向量組
所生成的子空間的維數和一個基.
4、求數域F上三階實對稱矩陣在通常的矩陣的加法和數乘下構成的線性空間的基與維數.
5、設線性空間Rn×n中一組基
，，， ，
求在這組基下的坐標.
6. 已知1，x，x2，x3是R[x]4的一組基：
(1) 證明 1，1＋x，(1＋x)2，(1＋x)3也是 R[x]4的一組基；
(2) 求由基1，x，x2，x3到基1，1＋x，(1＋x)2，(1＋x)3的過渡矩陣；
(3) 求由基1，1＋x，(1＋x)2，(1＋x)3到基1，x，x2，x3的過渡矩陣；
(4) 求a3x3＋a2x2＋a1x＋a0對于基1，1＋x，(1＋x)2，(1＋x)3的坐標.
7、設R3的兩組基分別為
及
求R3中的向量α=（a1,a2,a3）T分別在這兩組基下的坐標.
8、 設有兩組基
ξ1＝(0，1，1)T , ξ2 = (1，0，1)T，ξ3 = (1，1，0)T；
η1＝(1，0，0)T , η2 = (1，1，0)T，η3 = (1，1，1)T.
求（1）由基ξ1，ξ2 ，ξ3到基η1，η2 ，η3的過渡矩陣C；
（2）α＝η1＋3η2 ＋5η3關于基ξ1，ξ2 ，ξ3的坐標；β＝ξ1＋2ξ2 ＋3ξ3關于基η1，η2 ，η3的坐標.
9、驗證
為R3的一個基，并求向量
在這組基下的坐標.
10. 設R3中由基α1，α2 ，α3到基β1，β2，β3的過渡矩陣為
.
(1) 若基α1 = (1，0，0) ，α2 = (1，1，0)，α3 = (1，1，1) ，
試求基β1，β2 ，β3；
(2) 若基β1 = (0，1，1) ，β2 = (1，0，2)，β3 = (2，1，0)，
試求基α1，α2 ，α3.
11. 在R[x]3中有三組基
(1) 1，x，x2；
(2) x＋1，x＋x2，x2；
(3) 1，x－x2，x＋x2.
α在基(1)下的坐標為(1，0，－1)T，β在基(2)下的坐標為(2，1，0)T，γ在基(3)下的坐標為(0，－1，1)T，求α＋β＋γ在基1，x，x2下的坐標，并求由基(2)到基(3)的過渡矩陣.
12、已知R3中的兩個基分別為
及，
且由基α1，α2 ，α3到基β1，β2 ，β3的過渡矩陣為
，
試求a、b、c、x、y、z.
《線性代數A》模擬試卷
一、填空題（每小題3分、共計18分）
（1） 設向量組線性相關，則t=.
（2） 設向量，令，則A = .
（3） 設為正定二次型，則 t的取值范圍是.
（4） 設A、B均為n階方陣，且|A| = 2，|B| = - 4，則=.
（5）設A為5階方陣，且滿足A2+A=E，則R(A+E)= .
（6） 設A為n階可逆矩陣，將A的i， j兩行對換后得矩陣B，則|AB-1|= _______.
二、單項選擇題（每小題3分，共計18分）
（1）設n階方陣A、B、C滿足ABC=E，則下面的結論正確的是（ ）.
(A) ACB = E； (B) CBA = E ； (C) BAC = E ； (D) BCA = E.
（2）設向量 能由α1，α2，α3 線性表示，但不能由α1，α2線性表示，則下面結論正確的是（ ）.
（A）α3不能由α1，α2線性表示，但能由，α1，α2線性表示；
（B）α3不能由α1，α2線性表示，也不能由 ，α1，α2線性表示；
（C）α3能由α1，α2線性表示，但不能由 ，α1，α2線性表示；
（D）α3能由α1，α2線性表示，也能由，α1，α2線性表示.
（3）設A為n階方陣，且R（A）= n-1， α1，α2是Ax = 0的兩個不同的解向量k為任意的常數，則Ax = 0的通解為（ ）.
（A）kα1； （B）kα2； （C）k（α1-α2）； （D）k（α1+α2）.
（4）設有4階方陣A滿足條件 |A+3E| = 0，，，|A|﹤0, 則（ ）為A*的一個特征值.
（A） 4； （B）-3； （C）； （D）.
（5）已知矩陣
，，，，
則B =（ ）.
（A）AP1P2； （B）P2P1A； （C）P1P2A； （D）P1A P2.
（6）設4階行列式的第2列元素依次為2、m、k、3，第2列元素的余子式依次為1、-1、1、-1，第3列元素的代數余子式依次為3、1、4、2，且行列式的值為1，則m、k的值為（ ）.
（A）4、2； （B）-4、2； （C）4、-2； （D）-4、-2.
三、計算題（每小題6分，共計36分）
1、設三階方陣A、B滿足關系式且求A.
2、驗證為R3的一個基，并將用這個基線性表示.
3、已知矩陣
與相似，求x,y.
4、 設四元線性方程組Ax= b,且R（A）= 3，已知是其三個解向量，其中 ，
求Ax= b的通解.
5、已知向量組α1，α2，α3線性無關，若α1+2α2，4α2+kα3，3α3+2α1線性相關，求k.
6、設矩陣
求R(A)及A的列向量組的一個極大無關組.
四、（12分）已知4階方陣A=（1，2，3，4），其中1，2，3，4均為4維的列向量，并且2，3，4線性無關，而31= -22-3，若=1+2+3+4，求Ax= 的通解.
五、（10分）已知矩陣A有三個線性無關的特征向量，λ=2是A的二重特征值，求一個正交矩陣P使P-1AP=Λ.
六、（6分）設有3階實對稱矩陣A滿足A2-2A=0，已知R(A)=2.①寫出用正交變換將二次型f =xT(A+E)x化成的標準形（不需求出所用的正交變換）；②判斷二次型f =xT(A+E)x的正定性；③令B= A+E，試判斷B的列向量組的線性相關性.
《線性代數A》模擬試卷
一、 填空題（每小題3分、共計18分）
（1） 設向量組線性無關，則t.
（2） 設向量，令，則An = .
（3） 設為正定二次型，則 t的取值范圍是.
（4） 設A、B均為3階方陣，且|A| = 2，|B| = - 4，則|2A*B-1|=.
（5） 設A為3階方陣，且滿足A2-A=E，則R（A-E）= .
（6） 設3階矩陣A可相似于對角矩陣，且A的每行元素之和都等于3，R(A)=1，則a11+a22+a33= ________.
二、 單項選擇題（每小題3分，共計18分）
（1）設n階方陣A、B、C滿足CAB=E，則下面的結論正確的是（ ）.
(A) ACB = E； (B) CBA = E ； (C) BAC = E ； (D) ABC = E.
（2）已知 可由1，2，3線性表示，而不能由1，2線性表示，則下面結論正確的是（ ）.
（A）3 能由1，2， 線性表示，也能由1，2線性表示；
（B）3 能由1，2， 線性表示，但不能由1，2線性表示；
（C）3不能由1，2， 線性表示，也不能由1，2線性表示；
（D）3不能由1，2， 線性表示，但能由1，2，線性表示.
（3）已知正定矩陣則與A相似的對角矩陣為（ ）.
（A）；（B）；（C）；（D）.
（4） 設A為m×n矩陣，Ax=0是非齊次線性方程組Ax=b所對應的齊次線性方程組 ，則下面結論正確的是（ ）.
（A） 若Ax=0僅有零解，則Ax=b有唯一解；
（B） 若Ax=b有無窮多組解，則Ax=0只有零解；
（C） 若Ax=0有非零解，則Ax=b有無窮多組解；
（D） 若Ax=b有無窮多組解，則Ax=0有非零解.
（5）已知矩陣
，，，
則B =（ ）.
（A）AP1P2； （B）P2P1A； （C）P1P2A； （D）P1A P2.
（6）設4階行列式的第2行元素依次為2、m、k、3，第2行元素的余子式依次為1、-1、1、-1，第4行元素的代數余子式依次為3、1、4、2，且行列式的值為1，則m、k的值為（ ）.
（A）4、2； （B）-4、2； （C）4、-2； （D）-4、-2.
三、計算題（每小題7分，共計42分）
1、設三階方陣A、B滿足關系式且，求A.
2、驗證為R3的一個基，并將用這個基線性表示.
3、已知矩陣與相似，求x,y.
4、 設4元線性方程組Ax= b，且R（A）= 3，已知1，2，3是其三個解向量，其中，求Ax= b的通解.
5、已知向量組α1，α2，α3線性無關，若α1+2α2，4α2+kα3，3α3+2α1線性相關，求k.
6、設矩陣
求R（A）及A的行向量組的一個極大無關組.
四、（10分）已知4階方陣A=（1，2，3，4），其中1，2，3，4均為4維的列向量，并且2，3，4線性無關，而31=-22-3，若=1+22+33+44，求Ax= 的通解.
五、（6分）已知矩陣
有三個線性無關的特征向量，λ=2是A的二重特征值，求一個可逆矩陣P使P-1AP=Λ.
六、（6分）設有3階實對稱矩陣A滿足A2-2A=0，已知R（A）=2.①寫出用正交變換將二次型f =xT(A+E)x化成的標準形（不需求出所用的正交變換）；②判斷二次型f =xT(A+E)x的正定性；③當xTx=1時，求二次型f =xT(A+E)x的極大值.
