等差數列前n項和公式6篇
等差數列前n項和公式(1)
《等差數列的前n項和公式》教學設計
教材分析:
等差數列是中職教育課程改革國家規劃新教材基礎模塊下冊第六章第二節內容，是學生學習了等差數列的定義 、通項公式后，對數列知識的進一步學習。數列在生產實際中的應用范圍很廣，而且是培養學生發現、認識、分析、綜合等能力的重要題材，同時也是學生進一步學習高等數學的必備的基礎知識。
學情分析：
職高一年級學生有一定的觀察分析能力和歸納推理能力，但是職高學生基礎薄弱，他們對知識的理解還是處于模糊階段，雖然對等差數列有了一定的了解。但是由于學生是第一次接觸到數列的求和,缺乏相關經驗,因此，借助幾何直觀學習和理解數學，是數學學習中的重要方面。只有做到了直觀上的理解，才是真正的理解。
教學目標 ：
1、知識目標
（1）掌握等差數列前n項和公式,理解公式的推導方法；
（2）能較熟練應用等差數列前n項和公式求和。
2、能力目標
經歷公式的推導過程，體會數形結合的數學思想，體驗從特殊到一般的研究方法，學會觀察、歸納、反思和邏輯推理的能力。
3、情感目標
通過生動具體的現實問題，激發學生探究的興趣和欲望，樹立學生求真的勇氣和自信心，增強學生學好數學的心理體驗，產生熱愛數學的情感,體驗在學習中獲得成功。
教學重點、難點 ：
1、等差數列前n項和公式是重點。
2、獲得等差數列前n項和公式推導的思路是難點。
設計理念 ：
在教學中通過生動具體的現實問題，激發學生探究的興趣和欲望，由淺入深，層層深入，增強學生學好數學的心理體驗，產生熱愛數學的情感,體驗在學習中獲得成功。
教學策略：
用游戲的方法調動學生的積極性
教學步驟：
問題呈現階段
探究發現階段
公式應用階段
教學過程：
(一) 創設問題情境
1.故事引入：德國偉大的數學家高斯“神述求和”的故事。高斯在上小學四年級時，老師出了這樣一道題“1+2+3……+99+100”高斯稍微想了想就得出了答案。高斯到底用了什么巧妙的方法呢？下面給同學們一點時間來挑戰高斯。
高斯的方法：
首項與末項的和：1+100=101
第2項與倒數第2項的和：2+99=101
第3項與倒數第3項的和：3+98=101
……
第50項與倒數第50項的和：50+51=101
∴前100個正整數的和為：101×50=5050
2.故事引入：泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世紀莫臥兒帝國皇帝沙杰罕為紀念其愛妃所建，她宏偉壯觀，純白大理石砌建而成的主體建筑叫人心醉神迷，成為世界七大奇跡之一。陵寢以寶石鑲飾，圖案之細致令人叫絕。傳說陵寢中有一個三角形圖案，以相同大小的圓寶石鑲飾而成，共有100層，奢靡之程度，可見一斑。你知道這個圖案一共花了多少寶石嗎？圖案中，第1層到第21層一共有多少顆寶石？
：在知道了高斯算法之后，同學們很容易把本題與高斯算法聯系起來，也就是聯想到“首尾配對”擺出幾何圖形，將兩個三角形拼成平行四邊形. 讓學生初步形成數形結合的思想,這是在高中數學學習中非常重要的思想方法.借助圖形理解逆序相加,也為后面公式的推導打下基礎. 因此在教學中，要鼓勵學生借助幾何直觀進行思考，揭示研究對象的性質和關系，從而滲透了數形結合的數學思想。
上述故事歸結為 1．這是求等差數列1，2，3，…，100前100項和
2. 求等差數列1，2，3，…，21前21項和
（二）等差數列求和公式
一般地，稱為等差數列的前n項的和，用表示，即
1、 思考：受高斯的啟示，我們這里可以用什么方法去求和呢？思考后知道，也可以用“倒序相加法”進行求和。
我們用兩種方法表示：
①
②
由①+②，得
由此得到等差數列的前n項和的公式
對于這個公式，我們知道：只要知道等差數列首項、尾項和項數就可以求等差數列前n項和了。
2、 除此之外，等差數列還有其他方法嗎？當然，對于等差數列求和公式的推導，也可以有其他的推導途徑。例如：
=
=
=
=
這兩個公式是可以相互轉化的。把代入中，就可以得到
引導學生思考這兩個公式的結構特征得到：第一個公式反映了等差數列的任意的第k項與倒數第k項的和等于首項與末項的和這個內在性質。第二個公式反映了等差數列的前n項和與它的首項、公差之間的關系，這兩個公式的共同點都有四個量，都有和n，都可以“知三求一”，不同點是第一個公式還需知道，而第二個公式是要知道d，解題時還需要根據已知條件決定選用哪個公式。
:讓學生參與知識的形成過程,提高興趣,體驗成就感. 對公式的教學，要使學生掌握與理解公式的來龍去脈，公式的推導方法，理解公式的成立條件，充分體現公式之間的聯系。
（三）公式運用，變式訓練
等差數列的首項為，公差為d，項數為n，第n項為，前n項和為，請填下表:
：通過變式練習，可以加深學生對公式的理解和記憶，并能在應用公式時做出正確選擇。
（四）例題分析
例1.已知等差數列中，=－８，a10＝106,求s10
學生觀察分析:知三求一，首先找出已知那三個量，求那個量，然后再判斷使用哪一個求和公式，最后讓學生共同計算結果。
例2.等差數列 中前多少項的和是9900？
本題實質是反用公式，解一個關于 的一元二次函數，注意得到的項數 必須是正整數.
:讓學生觀察分析，靈活應用公式，培養學生轉化能力、計算能力，同時滲透方程思想。
（五）隨堂練習
書10頁練習6.2.3
（六）反思與評價
1．用倒序相加法推導等差數列前n項和公式
2．用推導的兩個公式靈活解題。
3．特別注意Sn公式中項數n的值。
（七）課外作業
必做題：課本11頁習題6.2 a組 第5、6、7題。
選做題：課本12頁習題6.2 B組 第1、2題
(八):板書設計
(九)教學反思
1、針對學生實際合理地對教材進行了個性化處理，挖掘了教材中可探究的因素，促使學生探究、推導。例如：等差數列前n項和的公式一，是通過具體的例子，引到一般的情況，激勵學生進行猜想，再進行論證得出；而第二個公式并不象書本上那樣直接給出，而是讓學生從習題中進行歸納總結得到的。這樣處理教材，使學生的思維得到了很大的鍛煉。
2、本節課主要采用觀察法、歸納法等教學方法，同時采用設計變式題的教學手段進行教學，通過具體問題的引入，使學生體會數學源于生活，創設情境，重在啟發引導，使學生由淺到深，由易到難分層次對本節課內容進行掌握。學生在學習的過程中體驗從特殊到一般的研究方法，學會觀察、歸納、反思和邏輯推理的能力。
3、在教學中，鼓勵學生借助幾何直觀進行思考，揭示研究對象的性質和關系，滲透了數形結合的數學思想。
總之，教師要樹立正確的教材觀，尊重教材但不惟教材，基于教材又能再生教材以促進學生主動學習和諧發展。
等差數列前n項和公式(2)
等差數列的前n項和
一、教材分析
等差數列的前ｎ項和是數列高考中的重要內容，也是數列研究的基本問題。在現實生活 中，等差數列求和問題的實例也比比皆是，等差數列的求和公式，為我們求等差數列的前ｎ 項和提供了一種重要方法．
教材首先通過具體的事例，探索歸納出等差數列前ｎ項和的求法，接著推廣到一般情況，推導出等差數列的前ｎ項和公式。為深化對公式的理解，通過對具體例子的研究，弄清等差數列的前ｎ項和與等差數列的項、項數、公差之間的關系，并能熟練地運用等差數列的前ｎ項和公式解決問題。
二、教學目標
1. 通過等差數列前ｎ項和公式的推導，讓學生體驗數學公式產生、形成的過程，培養學生抽象概括能力。
2. 理解和掌握等差數列的前ｎ項和公式，體會等差數列的前ｎ項和與二次函數之間的聯系，并能用公式解決一些實際問題，培養學生對數學的理解能力和邏輯推理能力。
3. 在研究公式的形成過程中，培養學生的探究能力、創新能力和科學的思維方法。
三、教學內容
這節內容主要涉及等差數列的前ｎ項公式及其應用。對公式的推導，為便于學生理解，采取從特殊到一般的研究方法比較適宜，如從歷史上有名的求和例子1＋2＋3＋……＋100的高斯算法出發，一方面引發學生對等差數列求和問題的興趣，另一方面引導學生發現等差數列中任意的第ｋ項與倒數第ｋ項的和等于首項與末項的和這個規律，進而發現求等差數列前ｎ項和的一般方法，這樣自然地過渡到一般等差數列的求和問題。對等差數列的求和公式，要引導學生認識公式本身的結構特征，弄清前ｎ項和與等差數列的項、項數、公差之間的關系。為加深對公式的理解和運用，要強化對實例的教學，并通過對具體實例的分析，引導學生學會解決問題的方法．特別是對實際問題，要引導學生從實際情境中發現等差數列的模型，恰當選擇公式。對于等差數列前ｎ項和公式和二次函數之間的聯系，可引導學生拓展延伸。
4、教學重點
這節內容重點是探索掌握等差數列的前ｎ項和公式，并能應用公式解決一些實際問題。
5、教學難點
這節內容的難點是前ｎ項和公式推導思路的形成。
六、教學用具
實物投影儀，多媒體軟件，電腦.
七、教學方法
講授法.
八、教學設計
（一）、知識回顧
1、等差數列的定義：
{an }是等差數列 an-a(n-1)=d（n≥2）
2、通項公式：
an=a1+（n-1）d
3、重要性質：
（1）an=am+(n-m)d
(2) m+n=p+q am+an=ap+aq
（二）、問題情景
1. 在200多年前，有個10歲的名叫高斯的孩子，在老師提出問題：“1＋2＋3＋…＋100＝？”時，很快地就算出了結果．他是怎么算出來的呢？
他發現1＋100＝2＋99＝3＋97＝…＝50＋51＝101，于是1＋2＋…＋100＝101×50＝5050。
2. 受高斯算法啟發，你能否求出1＋2＋3＋…＋ｎ的和。
3. 高斯的方法妙在哪里呢？這種方法能否推廣到求一般等差數列的前ｎ項和？
（三）、建立模型
1. 數列的前ｎ項和定義
對于數列｛ａn｝，我們稱ａ1＋ａ2＋…＋ａn為數列｛ａn｝的前ｎ項和，用Sn表示，即Sn＝ａ1＋ａ2＋…＋ａn。
2. 等差數列的求和公式
（1）如何用高斯算法來推導等差數列的前ｎ項和公式？
對于公差為ｄ的等差數列｛ａn｝：
Sn＝a1+（a1+d）+(a1+2d)+…+[a1+(n-1)d]， ①
依據高斯算法，將Sn表示為Sn＝an+(an-d)+(an-2d)+…+[an-(n-1)d]。 ②
由①+②，得 2s=（a1+an）+（a1+an）+……+（a1+an）=n（a1+an）
由此得到等差數列的前n項和公式 Sn=n（a1+an）/2
小結：這種方法稱為反序相加法，是數列求和的一種常用方法。
（2）結合通項公式an＝a1+(n-1)d，又能得怎樣的公式？
（3）兩個公式有什么相同點和不同點，各反映了等差數列的什么性質？
學生討論后，教師總結：相同點是利用二者求和都須知道首項ａ1和項數ｎ；不同點是前者還須要知道ａn，后者還須要知道ｄ。因此，在應用時要依據已知條件合適地選取公式。公式本身也反映了等差數列的性質：前者反映了等差數列的任意的第ｋ項與倒數第ｋ項的和都等于首、末兩項之和，后者反映了等差數的前ｎ項和是關于ｎ的沒有常數項的“二次函數”。
(四)、解釋應用
［例 題］
1. 根據下列各題中的條件，求相應的等差數列｛ａn｝的前ｎ項和Sn。
（1）ａ1＝ —4，ａ8＝ —18，ｎ＝8．
（2）ａ1＝14．5，ｄ＝0.7，ａn＝32．
注：恰當選用公式進行計算。
2. 已知一個等差數列｛ａn｝前10項的和是310，前20項的和是1220．由這些條件能確定這個等差數列的前ｎ項和的公式嗎？
分析：將已知條件代入等差數列前ｎ項和的公式后，可得到兩個關于ａ1與ｄ的關系式，它們都是關于a1與d的二元一次方程，由此可以求得a1與d，從而得到所求nｎ項和的公式。
解：由題意知
S10=310 s20=1220
代入公式
解得：
注：（1）引導學生認識到等差數列前ｎ項和公式，就是一個關于ａn，a1,n或者a1，n，d的方程，使學生能把方程思想和前n項和公式相結合，再結合通項公式，對a1，d，n，an及Sn這五個量知其三便可求其二。
（2）本題的解法還有很多，教學時可鼓勵學生探索其他的解法，可以引導學生靈活運用公式。
3. 2000年11月14日教育部下發了《關于在中小學實施“校校通”工程的通知》．某市據此提出了實施“校校通”工程的總目標：從2001年起用10年的時間，在全市中小學建成不同標準的校園網．據測算，2001年該市用于“校校通”工程的經費500萬元．為了保證工程的順利實施，計劃每年投入的資金都比上一年增加50萬元．那么從2001年起的未來10年內，該市在“校校通”工程中的總投入是多少？
引導學生分析：每年“校校通”工程的經費數構成公差為50的等差數列．問題實質是求該數列的前10項的和．
解：根據題意，從2001～2010年，該市每年投入“校校通”工程的經費都比上一年增加50萬元．所以，可以建立一個等差數列｛ａn｝，表示從2001年起各年投入的資金，其中，a1=500，d=50。
那么，到2010年（ｎ＝10），投入的資金總額為
s10=10×500+10×（10-1）×50÷2=7250
答：從2001～2010年，該市在“校校通”工程中的總投入是7250萬元．
注：引導學生規范應用題的解題步驟．
4、在等差數列{a_n }中，已知d=1/2，an=3/2， sn=-15/2，求a1及n
解： an= a1+（n-1）d=3/2 ，sn= na_1+(n（n-1）d)/2 = -15/2
4、歸納與總結
1、等差數列前n項和概念
sn= a1+a2+a3+······+an
2、等差數列前n項和公式
（1）Sn=n（a1+an）/2
（2）
3、通項公式與求和公式中共有a1、d、n、an、sn五個基本元素，如果已知其中三個，就可求其余兩個。
［練 習］
1. 一名技術人員計劃用下面的辦法測試一種賽車：從時速10km/h開始，每隔2ｓ速度提高20km/h。如果測試時間是30s，測試距離是多長？
2、等差數列{a_n }的前n項和s_n，已知a_5=8，s_3=6，求s_n的表達式。
3. 求集合M＝｛m｜m＝2n—1，n∈N*，且m
等差數列前n項和公式(3)
《等差數列的前n項和公式》教學設計
職業技術學校 劉老師
大綱分析：
高中數列研究的主要對象是等差、等比兩個基本數列。本節課的教學內容是等差數列前n項和公式的推導及其簡單應用。
教材分析：
數列在生產實際中的應用范圍很廣，而且是培養學生發現、認識、分析、綜合等能力的重要題材，同時也是學生進一步學習高等數學的必備的基礎知識。
學生分析：
數列在整個高中階段對于學生來說是難點，因為學生對于這部分僅有初中學的簡單函數作為基礎，所以新課的引入非常重要。
教學目標：
知識與技能目標：
掌握等差數列前n項和公式，能較熟練應用等差數列前n項和公式求和。
過程與方法目標：
培養學生觀察、歸納能力，應用數學公式的能力及滲透函數、方程的思想。
情感、態度與價值觀目標：
體驗從特殊到一般，又到特殊的認識事物的規律，培養學生勇于創新的科學精神。
教學重點與難點：
等差數列前n項和公式是重點。
獲得等差數列前n項和公式推導的思路是難點。
教學用具：ppt
整節課分為三個階段：
問題呈現階段
探究發現階段
公式應用階段
問題呈現1：
首先講述世界七大奇跡之一泰姬陵的傳說（泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世紀莫臥兒帝國皇帝沙杰罕為紀念其愛妃所建，她宏偉壯觀，純白大理石砌建而成的主體建筑叫人心醉神迷，陵寢以寶石鑲飾，圖案之細致令人叫絕，成為世界七大奇跡之一。）
傳說陵寢中有一個三角形圖案，以相同大小的圓寶石鑲飾而成，共有100層，你知道這個圖案一共花了多少寶石嗎？也就是計算1+2+3+…+100。
緊接著講述高斯算法：高斯，德國著名數學家，被譽為“數學王子”。
200多年前，高斯的算術教師提出了下面的問題：1＋2＋3＋…+100＝？
據說，當其他同學忙于把100個數逐項相加時，
10歲的高斯卻用下面的方法迅速算出了正確答案：
（1＋100）＋（2＋99）＋……＋（50＋51）＝101×50＝5050
【設計說明】 了解歷史，激發興趣，提出問題，緊扣核心。
問題呈現2：
圖案中，第1層到第21層一共有多少顆寶石？
在知道了高斯算法之后，同學們很容易把本題與高斯
算法聯系起來，也就是聯想到“首尾配對”擺出幾何圖形,引 引導學生去思考,如何將圖與高斯的倒序相加結合起來,讓
他們借助幾何圖形,將兩個三角形拼成平行四邊形.
word/media/image5_1.png
獲得算法：
【設計說明】
? 源于歷史，富有人文氣息.
? 圖中算數，激發學習興趣.
這一個問題旨在讓學生初步形成數形結合的思想,這是在高中數學學習中非常重要的思想方法.借助圖形理解逆序相加,也為后面公式的推導打下基礎.
探究發現1：
問題3：
由前面的例子，不難用倒序相加法推出
【設計說明】
在前面兩個問題的基礎上，問題呈現3提出了等差數列求和公式的推導，鼓勵學生利用“倒序相加”的數學方法推導公式。
探究發現2：
根據等差數列求和公式1和等差數列通項公式,推出等差數列公式2
問題4
探究發現3：
有這樣一個梯形，上底長為，下底長為，高為，求這個梯形的面積為多少平方米？
面積公式：
word/media/image20_1.png
【設計說明】
利用梯形的面積公式，幫助學生記憶等差數列的求和公式，讓學生對于“數形結合”的理解更加深一層。
公式應用
? 根據題目選用公式
? 利用通項求中間量
? 依據條件變用公式
例1、已知等差數列{an}中，a1=-8,a20=106,求s20
分析：本例提供了兩個數據，學生可以從題目條件發現，只告知了首項、尾項和項數，于是從這一方向出發，可知使用公式1，達到學生熟悉公式的要素與結構的教學目的。
解：由已知條件得
s20= =980
例2、求等差數列1,4,7,10…的前100項的和。
分析：本例已知首項，公差和項數，引導學生使用公式2。事實上，根據提供的條件再與公式對比，通過兩種公式的比較，引導學生應該根據信息選擇適當的公式，以便于計算。
解：已知a1=1,d=3,n=100,
所以有s100=100×1＋ ×3=14950
鞏固練習：
1、根據下列條件，求相應的等差數列{an}的Sn
2、求等差數列-13，-9，-5，-1,3…的前100項的和
課堂小結：
回顧從特殊到一般的研究方法；
體會等差數列的基本元表示方法，逆序相加的算法，及數形結合的數學思想；
掌握等差數列的兩個求和公式及簡單應用。
作業布置：
必做題：課本第10頁 習題6.2.3：1、2
選做題：課本第12頁 第8題
【設計說明】出選做題的目的是注意分層教學和因材施教，讓學有余力的學生有思考的空間。
教學反思：
本節課是通過介紹高斯的算法，探究這種方法如何推廣到一般等差數列的求和．本節課的難點在于如何獲得推導公式的“倒序相加法”這一思路．為了突破這一難點，在教學中采用了以問題驅動的教學方法，設計的三個問題體現了分析、解決問題的一般思路，即從特殊問題的解決中提煉方法，再試圖運用這一方法解決一般問題．在教學過程中，通過教師的層層引導、學生的合作學習與自主探究，尤其是借助圖形的直觀性，學生“倒序相加法”思路的獲得就水到渠成了。
等差數列前n項和公式(4)
《等差數列的前n項和公式》教學設計
職業技術學校 劉老師
大綱分析：
高中數列研究的主要對象是等差、等比兩個基本數列。本節課的教學內容是等差數列前n項和公式的推導及其簡單應用。
教材分析：
數列在生產實際中的應用范圍很廣，而且是培養學生發現、認識、分析、綜合等能力的重要題材，同時也是學生進一步學習高等數學的必備的基礎知識。
學生分析：
數列在整個高中階段對于學生來說是難點，因為學生對于這部分僅有初中學的簡單函數作為基礎，所以新課的引入非常重要。
教學目標：
知識與技能目標：
掌握等差數列前n項和公式，能較熟練應用等差數列前n項和公式求和。
過程與方法目標：
培養學生觀察、歸納能力，應用數學公式的能力及滲透函數、方程的思想。
情感、態度與價值觀目標：
體驗從特殊到一般，又到特殊的認識事物的規律，培養學生勇于創新的科學精神。
教學重點與難點：
等差數列前n項和公式是重點。
獲得等差數列前n項和公式推導的思路是難點。
教學用具：ppt
整節課分為三個階段：
問題呈現階段
探究發現階段
公式應用階段
問題呈現1：
word/media/image1.gif
首先講述世界七大奇跡之一泰姬陵的傳說（泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世紀莫臥兒帝國皇帝沙杰罕為紀念其愛妃所建，她宏偉壯觀，純白大理石砌建而成的主體建筑叫人心醉神迷，陵寢以寶石鑲飾，圖案之細致令人叫絕，成為世界七大奇跡之一。）
傳說陵寢中有一個三角形圖案，以相同大小的圓寶石鑲飾而成，共有100層，你知道這個圖案一共花了多少寶石嗎也就是計算1+2+3+…+100。
緊接著講述高斯算法：高斯，德國著名數學家，被譽為“數學王子”。
200多年前，高斯的算術教師提出了下面的問題：1＋2＋3＋…+100＝
據說，當其他同學忙于把100個數逐項相加時，
10歲的高斯卻用下面的方法迅速算出了正確答案：
（1＋100）＋（2＋99）＋……＋（50＋51）＝101×50＝5050
【設計說明】 了解歷史，激發興趣，提出問題，緊扣核心。
word/media/image2.gif問題呈現2：
圖案中，第1層到第21層一共有多少顆寶石
在知道了高斯算法之后，同學們很容易把本題與高斯
算法聯系起來，也就是聯想到“首尾配對”擺出幾何圖形,引 引導學生去思考,如何將圖與高斯的倒序相加結合起來,讓
他們借助幾何圖形,將兩個三角形拼成平行四邊形.
獲得算法：
【設計說明】
? 源于歷史，富有人文氣息.
? 圖中算數，激發學習興趣.
這一個問題旨在讓學生初步形成數形結合的思想,這是在高中數學學習中非常重要的思想方法.借助圖形理解逆序相加,也為后面公式的推導打下基礎.
word/media/image3.gif探究發現1：
問題3：
由前面的例子，不難用倒序相加法推出
word/media/image4.gif
【設計說明】
在前面兩個問題的基礎上，問題呈現3提出了等差數列求和公式的推導，鼓勵學生利用“倒序相加”的數學方法推導公式。
探究發現2：
word/media/image5.gif根據等差數列求和公式1和等差數列通項公式,推出等差數列公式2
問題4
word/media/image6.gif
word/media/image7.gif
探究發現3：
word/media/image8.gif有這樣一個梯形，上底長為5af9e7c2d02f994ddb8307f8ecba86cf.png，下底長為d81e365ef2d0cb191145a767e4e3a5df.png，高為cd49df3838ca2b997ec7d25572a87b19.png，求這個梯形的面積為多少平方米
word/media/image12.gif面積公式：
word/media/image13.gif
【設計說明】
利用梯形的面積公式，幫助學生記憶等差數列的求和公式，讓學生對于“數形結合”的理解更加深一層。
公式應用
? 根據題目選用公式
? 利用通項求中間量
? 依據條件變用公式
例1、已知等差數列{an}中，a1=-8,a20=106,求s20
分析：本例提供了兩個數據，學生可以從題目條件發現，只告知了首項、尾項和項數，于是從這一方向出發，可知使用公式1，達到學生熟悉公式的要素與結構的教學目的。
解：由已知條件得
word/media/image14.gif s20= =980
例2、求等差數列1,4,7,10…的前100項的和。
分析：本例已知首項，公差和項數，引導學生使用公式2。事實上，根據提供的條件再與公式對比，通過兩種公式的比較，引導學生應該根據信息選擇適當的公式，以便于計算。
解：已知a1=1,d=3,n=100,
word/media/image15.gif所以有s100=100×1＋ ×3=14950
鞏固練習：
1、根據下列條件，求相應的等差數列{an}的Sn
word/media/image16.gif
2、求等差數列-13，-9，-5，-1,3…的前100項的和
課堂小結：
回顧從特殊到一般的研究方法；
體會等差數列的基本元表示方法，逆序相加的算法，及數形結合的數學思想；
掌握等差數列的兩個求和公式及簡單應用。
作業布置：
必做題：課本第10頁 習題6.2.3：1、2
選做題：課本第12頁 第8題
【設計說明】出選做題的目的是注意分層教學和因材施教，讓學有余力的學生有思考的空間。
教學反思：
本節課是通過介紹高斯的算法，探究這種方法如何推廣到一般等差數列的求和．本節課的難點在于如何獲得推導公式的“倒序相加法”這一思路．為了突破這一難點，在教學中采用了以問題驅動的教學方法，設計的三個問題體現了分析、解決問題的一般思路，即從特殊問題的解決中提煉方法，再試圖運用這一方法解決一般問題．在教學過程中，通過教師的層層引導、學生的合作學習與自主探究，尤其是借助圖形的直觀性，學生“倒序相加法”思路的獲得就水到渠成了。
等差數列前n項和公式(5)
等差數列的前項和教學設計
教學目標：1掌握等差數列的前項和公式，學會用公式解決一些實際問題
2初步了解等差數列前項和公式的推導方法：倒序相加法
3 熟記等差數列前項和公式
教學重點：等差數列前項和公式
教學難點：等差數列前項和公式推導思路的獲得
教學方法：學生自學
教學方法
引入探究：
學生自學課本數學王子高斯求1+2+3+…+100方法思考以下問題
1、1、2、3…實質是一個什么樣的數列？
2、為什么會想到把最后一項和第一項相加，理論根據是什么？
3、這種方法能推廣到求一般等差數列的前項和公式嗎？
知識形成
讓學生看課本42---43例題以上(約10分鐘)s
學生看課時提出以下問題
1在求等差數列前項和時用到了倒序相加,通過學習你對倒序相加了解多少?什么樣的情況下可以用倒序相加法?
2等差數前項和公式有兩個,你能熟記嗎?(熟練掌握目前是不可能的)
3這兩個公式有什么區別,他們分別從哪些角度反映了等差數列的性質?
公式和公式可以轉化,前者反映了等差數列中任意的第K項與倒數第K項的和等物首項與末項的和這個內在性質,后者反映了數列的前項和與它的首項、公式之間的關系，而且是關于的“二次函數”，可以與二次函數進行比較。
4如果一個等差數列知道了公式與末項，你是否能寫出其通項公式？
實際上，如果一個數列是等差數，反過來仍是等差數，公差變為
注意問題
1公式反映了等差數列中任意的第K項與倒數第K項的和等物首項與末項的和這個內在性質，這個性質是等差數列中比較重要的性質，因此教師在講時，一定要推廣到一般情況即在等差數列中，如果
則有
2倒序相加是數列中的一個重要思想,一定要在學生頭腦中留有較深印象。
3避免引出公式后，不管學生對公式掌握如何，就引入前項和一些性質及大題習題，在教學中支持記住公式以便做題；反對用做題來記公式。
4等差數列前項和與二次函數的關系一定要講清楚，以免學生混淆。
知識掌握
1 已知一個等差數列前10項的和是310,前20項的和是1220,由這些條件能三確定這個等差數列的前項和的公式嗎?
分析:將已知條件代入等差數列前項和的公式后,可得到兩個關于與的關系式,它們都是關于與d的二元一次方程,由此可以求得與d,從而得到所求前項的和公式.
解:由題意知
將它們代入公式
得到
解這個關于的方程組,得到
=4, d=6
所以
注意:為了避免學生記得過多,該題講完后不要引入下面性質,可以在后繼學習中引入
如果數列是等差數,那么,……仍是等差數列.
知識鞏固
1根據下列各題中的條件,求相應的等差數的前項和.
2已知數列的前項和為,求這個數列的通項公式.
第2題在教學中一定要細,讓學生明白數列通項公式與前項和的關系.
這中間學容易忽略對=1的討論
作業:46頁A組中5,6
小結:本節著重學習了等差數列前項和公式以及等差數列前項和公式與二次函數的關系.
等差數列前n項和公式(6)
2.2 等差數列的前n項和
第一課時 等差數列前n項和公式及性質
【選題明細表】
知識點、方法
題號
易
中
等差數列前n項和公式應用
1、3、9
7、8
等差數列前n項和性質的應用
2、4
等差數列性質的綜合應用
5、6
基礎達標
1.在等差數列{an}中,已知a1=2,a2+a3=13,則a4+a5+a6等于( B )
(A)40 (B)42 (C)43 (D)45
解析:∵a1=2,a2+a3=13,
∴3d=13-4=9,∴d=3,
a4+a5+a6=S6-S3=6×2+×6×5×3-(3×2+×3×2×3)=42.故選B.
2.等差數列{an}共有2n+1項,其中奇數項之和為319,偶數項之和為290,則其中間項為( B )
(A)28 (B)29 (C)30 (D)31
解析:∵S奇=a1+a3+…+a2n+1=(n+1)an+1,
S偶=a2+a4+…+a2n=nan+1,
∴S奇-S偶=an+1=29.故選B.
3.(2013南陽高二階段性考試)已知等差數列{an}的前n項和為Sn,若2a8=6+a11,則S9等于( D )
(A)27 (B)36 (C)45 (D)54
解析:∵2a8=a5+a11=6+a11,∴a5=6,
∴S9===9a5=54.故選D.
4.(2012鄭州四十七中月考)設等差數列{an}的前n項和為Sn,若S3=9,S6=36,則a7+a8+a9等于( B )
(A)63 (B)45 (C)36 (D)27
解析:由S3,S6-S3,S9-S6成等差數列,
∴2(S6-S3)=S3+(S9-S6),∴a7+a8+a9=S9-S6=2(S6-S3)-S3=2×(36-9)-9=45.故選B.
5.(2013廣州市鐵一中第一學期期中測試)在各項均不為零的等差數列中,若an+1-+an-1=0(n≥2),則S2n-1-4n等于( A )
(A)-2 (B)0 (C)1 (D)2
解析:由已知得2an-=0,
又an≠0,∴an=2,
∴S2n-1===2(2n-1),
∴S2n-1-4n=-2.故選A.
6.等差數列{an}中,已知a14+a15+a17+a18=82,則S31= .?
解析:結合已知條件,運用性質可以得出a1+a31=a14+a18=a15+a17=41,所以S31===.
答案:
7.設等差數列{an}的前n項和為Sn,若a5=5a3,則= .?
解析:設公差為d,則a1+4d=5(a1+2d),∴a1=-d,
∴==×=×
=-.
答案:-
能力提升
8.(2013海州高級中學高二第一學期期中檢測)在等差數列{an}中,Sn是其前n項和,且a1=2,-=2,則數列﹛﹜的前n項和是 .?
解析:設{an}的公差為d,則Sn=2n+d,
∴=2+d,∴(2+d)-(2+d)=2,
解之,得d=2,∴Sn=2n+×2=n2+n,
于是===-.
∴數列﹛﹜的前n項和
++…+=+++…+=1-=.
答案:
9.等差數列{an}的前n項和記為Sn,已知a10=30,a20=50.
(1)求通項an;(2)若Sn=242,求n.
解:(1)由an=a1+(n-1)d,a10=30,a20=50,
得方程組解得
所以an=2n+10.
(2)由Sn=na1+d,Sn=242,
得方程12n+×2=242,
即n2+11n-242=0,解得n=11或n=-22(舍去).
所以n=11.
