黃金分割點4篇
黃金分割點(1)
如果你不想看完這個文章，也一定要看看這篇文章里面那個美麗的視頻。
自然界中存在著一種數學比例，它可以幫助我們構造出美麗，愉悅的畫面。我們把它叫做 - 黃金分割。
今天這篇文章，我將為大家講解如何使用黃金分割，并且為大家準備了豐富的學習資源。
從遠古時代，美觀與美學就開始受到人們的贊揚。但很少有人知道最有效、最平衡完美、最有視覺沖擊力的創作往往和數學有著絲絲的聯系。直到1860年，德國物理學家、心理學家Gustav Theodor Fechner提出一個簡單比率，通過一個無理數來定義大自然中的平衡，即黃金分割率。Fechner的實驗很簡單：十個矩形具有不同的長寬比，請人們從中選出最美好的一個。結果顯示，最受青睞的選擇是具有“黃金分割率的矩形”（比例為1.618）。
什么是黃金分割？
黃金分割與斐波那契數列密切相關(如果你看過達芬奇密碼，你應該對它非常熟悉。同時1123的名字也與之息息相關哦)，黃金分割描述了兩者(圖形)之間的完美對稱關系。
這個數值約等于1:1.61，通過黃金矩形我們可以將黃金分割形象的描述為下圖：一個大的矩形被分成了一個方形和一個小的矩形，他的長寬之比為黃金分割率。換言之，矩形的短邊為長邊的 0.618倍。
矩形的邊長為黃金黃金比例
如果我們將下圖中的正方形移除，我們會得到一個稍微小一些的黃金矩形，這樣可以無限循環，好像斐波那契數列也是無限循環的。
Φ是斐波那契數列1，1，2，3，5，8，13，21，……中從第二位起相鄰兩數之比，即2/3，3/5，5/8，8/13，13/21，...的近似值。在該數字序列中，下一個數字（從第三個開始）是前兩個數字之和，即1+1=2，1+2=3，2+3=5，……。該序列中兩個相鄰數字相比，如5/3=1.67，21/13=1.615，所得的結果與φ(1.618)越來越接近。
我們經常看到貝殼的螺旋形狀就是自然對黃金分割的一種應用。
黃金分割的應用
人類對黃金分割的應用大約要追述到4000年以前，但是很多人相信這個時間將更久遠 - 部分學者認為埃及人在建造金字塔的時候使用了黃金分割原理。
在近代，我們可以從音樂，藝術，設計等各種領域撲捉到黃金分割的影子，下面我們就來看一些黃金分割在經典藝術中的應用。
帕特農神廟
古希臘在建筑設計中大量采用黃金分割原理，從建筑的寬度，高度，甚至支撐建筑的柱子之間的間距都采用了這種原理，因此他們的建筑看起來美感十足，比例協調。
最后的晚餐
在最后的晚餐中，人物被安排在了畫面下面三分之二的部分。
自然
在自然界中，造物主也大量的使用了黃金分割，從我們看到的貝殼，菠蘿，甚至蜂窩都存
除了自然界中的黃金分割現象，在很多工業設計也大量的使用了黃金分割。
黃金分割在工業中的使用
Apple
Apple的Logo上沒有標識出公司名稱，只有很少的幾家公司會這樣做。但Apple的Logo卻成為全世界最著名的公司標識之一。該Logo具有完美的平衡，映射到Logo上的輪廓是在直徑上遵循斐波那契數列的圓形。
美國國家地理
還記得美國國家地理的Logo中黃色的矩形框嗎？你曾經是否很好奇為什么這個簡單的Logo會如此吸引人？正如你所知道的那樣，答案是黃金分割率。該矩形框的長和寬的比值為1.61。基于黃金矩形的Logo與該組織的座右銘（“激勵人們去關心地球”）十分貼合。
百事百事的新Logo更簡單、更有效、更具有空間感。它看起來有趣而漂亮，紅藍之間的圖形像一個小笑臉。你知道Pepsi Logo最基本的框架符合黃金分割率嗎？它由幾個交叉的圓組成，彼此之間遵循一定的比率，該比率是：黃金分割率（φ）。
iCloud是Apple的另一個產品，也是一個設計杰作。云邊緣的“波紋”由一系列的圓組成，其直徑遵循黃金分割率。同時該Logo還包含一個“黃金矩形”，如下圖所示。實際上，Apple的大部分產品，從iPod到iPhone都包含黃金矩形。
BPBP是世界上最大的石油和石化集團公司之一。2000年，該公司發布了新Logo。該Logo之所以引人矚目，原因在于它由一系列同心圓組成，在直徑比例上同樣遵循斐波那契數列。
豐田Toyota的Logo由三個橢圓組成。美國豐田汽車銷售公司首席發言人Mike Michels在郵件中表示，“兩個交叉的橢圓意在代表客戶與產品……及兩者之間關系的重要性。最外面的橢圓代表業務的全世界及全球特性。”進一步觀察這個Logo，我們會很容易地發現一個基于φ的網格。該網格的網格線間隔遵循黃金分割率φ。
Grupo Boticário
巴西企業Grupo Boticário的Logo由Futurebrand的巴西分公司設計。該Logo用到了黃金螺旋。在幾何上，黃金螺旋是一個對數螺旋線，其增長因子為φ——黃金分割率。即黃金螺旋會在每個四分之一處按照增長因子φ逐漸增寬。黃金螺旋十分近似于斐波那契螺線。黃金螺旋在大自然中十分普遍，例如螺旋星系與軟體動物的殼。
如何正確的繪制黃金矩形
繪制黃金矩形非常簡單，下面我們就一步一步的繪制一個黃金矩形。
這樣我們就可以成功的繪制一個黃金矩形了。
如何在我們的設計中使用黃金分割
在我們的設計中應用黃金分割其實并不是很難，下面我就為大家介紹幾個簡單的方法。
快速使用黃金分割
如果你了解攝影中的“三分構圖法”，你應該大概知道，把一個圖形橫豎三等分，相交的點就是畫面最自然的焦點。
攝影師經常會將自己的主題放置于畫面的這些焦點中來形成美麗的構圖，同樣這樣的構圖也被使用在網頁，海報設計中。
盡管“三分構圖法”可以使用在任何圖形中，但是如果我們將這種構圖方法使用在比例接近1:1.61的矩形中，我們將會得到一個非常接近黃金矩形的構圖，這樣可以使我們的構圖看起來更加舒服。
全面實施
當然，你也可以按照比例認真的繪制你的黃金分割。這就需要你非常認真的計算矩形的像素。比如在網頁設計中，如果你的畫面的寬度是640像素，你的邊長為400就基本滿足黃金分割的比例，幾個像素的出入不會產生很大的影響。
好了，今天為大家簡單的介紹了黃金分割的原理和應用，當然一個好的設計不僅僅是對基礎原理的應用，更多的還是需要我們對美的認識和理解。
黃金分割點(2)
§10.2 黃金分割
主備人：謝飛 審核人：郭維
【學習目標】了解黃金分割、黃金矩形、黃金三角形的意義；會找一條線段的黃金分割點.
【重點難點】了解黃金分割、黃金矩形、黃金三角形的意義；會找一條線段的黃金分割點.
【學習過程】
一、課前懸疑
1、據有關實驗測定，當氣溫處于人體正常體溫（37oC）的黃金比值時,人體感到最舒適.這個氣溫大約是多少oC呢(精確到1 oC)?文檔來自于網絡搜索
2、為什么翩翩起舞的芭蕾舞演員要掂起腳尖? 為什么身材苗條的時裝模特還要穿高跟鞋?為什么她們會給人感到和諧、平衡、舒適，美的感覺？請利用“黃金分割”的知識加以解釋.文檔來自于網絡搜索
二、操作與探究
操作一：(圖見課本P85)
1、欣賞芭蕾舞演員身體各部分之間適當的比例給人以勻稱、協調的美感，
①量出圖中線段AB、AC的長度，求出線段AB與AC的比值；
②量出圖中線段BC的長度，求出線段BC與AB的比值；
2、上海東方明珠電視設計巧妙，整個塔體的挺拔秀麗，
①量出圖中線段AB、AC的長度，求出線段AB與AC的比值；
②量出圖中線段BC的長度，求出線段BC與AB的比值；
黃金分割的概念：
word/media/image2.gif如圖，點B把線段AC分成兩部分，如果137454d32c28862a340e74fffee0b647.png大段與線段全長的比=小段與大段的比），那么稱線段AC被點B黃金分割。文檔來自于網絡搜索
點B為線段AC的黃金分割點。這個比值約為0.618，稱為黃金比。
鞏固練習：
word/media/image4_1.png1、如圖所示，若點C是AB的黃金分割點，AB＝1，
則AC=___ ，BC=_____ ；
2、一條線段的黃金分割點有____個，它們關于___________對稱。
3、線段AB＝4cm，點C是線段AB的一個黃金分割點，則AC的長為多少？
4、如圖所示的五角星中，AD＝BC，且C、D兩點都是AB的
黃金分割點，AB＝1，求CD的長。
操作二：(圖見課本P84)
1、與同學交流習題10.1第4題“你最喜歡的矩形”的調查結果，看看多數同學選擇的是哪一個？
2、量出該矩形的長和寬的長度，并計算寬與長的比值約是多少？
黃金矩形：若矩形的______________的比值約為__________，這種矩形稱為______________。文檔來自于網絡搜索
word/media/image5_1.png3、在如圖所示的黃金矩形ABCD中，以短邊AD為一邊作正方形AEFD；
量出矩形BCFE的邊BE、BC的長度，它們的比值約是多少？
黃金矩形的性質:
（1）396578d84b528e5149836f6c448bc97c.png；
（2）若在黃金矩形中截取一個正方形，那么剩余的矩形______________；
（3）如此繼續下去，可以得到一串_______________.
操作三：
1、請在右邊空白處作頂角為5cf0f3724aa3672506547042e0182ed2.png的等腰三角形ABC
2、量出底邊BC與腰AB的長度，
求出75b781a7c7441078ffd5053329c34092.png的底邊與腰的長度的比值（精確到0.001）
黃金三角形：頂角為______°的_________三角形稱為____________
3、作551e442a59b4789241f9fd7e8a072a5f.png的平分線，交AC于點D，量出508d5fbc02bff8b36bc1db81015e5b26.png的底邊CD的長度。
word/media/image11.gif求出508d5fbc02bff8b36bc1db81015e5b26.png的底邊與腰的長度的比值（精確到0.001）
黃金三角形的性質：
（1）1e7ed46000cd3874c354a9fdf539b13e.png；
（2）設BD是△ABC的底角的平分線，則△BCD也是_____________
且點D是線段_______的黃金分割點；
（3）如再作∠C的平分線，交BD于點E，則△CDE也是__________
如此繼續下去，可得到一串____________
word/media/image14.gif思考1：頂角為2498c25c36674465db7e0a2100fcba4c.png的等腰三角形是黃金三角形嗎？
思考2:五邊形ABCDE的5條邊相等，5個內角也相等，
（1）找出圖中的黃金三角形；
（2）圖中的點F、G、H、M、N分別是哪些線段的黃金分割點？
你能說明理由嗎？
三、問題解決 通過本課學習，你會解決開頭提出的兩個問題了嗎？文檔來自于網絡搜索
1、據有關實驗測定，當氣溫處于人體正常體溫（37oC）的黃金比值時,人體感到最舒適。這個氣溫約為_______ oC (精確到1 oC)。文檔來自于網絡搜索
2、科學研究表明，當人的下肢與身高比為0.618時，看起來最美，某成年女士身高為153cm，下肢長為92cm，該女士穿的高跟鞋鞋跟的最佳高度約為 cm（精確到0.1cm）文檔來自于網絡搜索
四、課堂練習
word/media/image17_1.png1、如圖,點C是AB的黃金分割點，AB=4，則AC=________.（精確到0.1）
word/media/image18.gif2、我們知道古希臘時期的巴臺農神廟（Parthenom Temple）的正面是一個黃金矩形。若已知黃金矩形的長等于6,則這個黃金矩形的寬等于_________.（精確到0.1）文檔來自于網絡搜索
五、課堂小結
六、課后練習
word/media/image19.gif1、如圖,點C把線段AB分成AC和BC,如果d1855a79e51c0383866ae7eb84ad71aa.png,那么下列說法錯誤的是 ( )
A、線段AB被點C黃金分割 B、點C叫做線段AB的黃金分割點
C、AB與AC的比叫做黃金比 D、AC與AB的比叫做黃金比
2、如圖的五角星中,7fd11624f963a2103f86bfbe3c465a53.png與51fd77c43addace06dab5c63c1eed20c.png的關系是( )
A、相等 B、7fd11624f963a2103f86bfbe3c465a53.png>51fd77c43addace06dab5c63c1eed20c.png C、7fd11624f963a2103f86bfbe3c465a53.png
黃金分割點(3)
黃金分割（黃金比例）
黃金分割是指將整體一分為二，較大部分與整體部分的比值等于較小部分與較大部分的比值，其比值約為0.618。這個比例被公認為是最能引起美感的比例，因此被稱為黃金分割。
據說在古希臘，有一天畢達哥拉斯走在街上，在經過鐵匠鋪前他聽到鐵匠打鐵的聲音非常好聽，于是駐足傾聽。他發現鐵匠打鐵節奏很有規律，這個聲音的比例被畢達哥拉斯用數學的方式表達出來。[2]
外文名golden section提出者畢達哥拉斯提出時間公元前5世紀
應用學科數學 建筑 繪圖記載著作《幾何原本》
數學定義
把一條線段分割為兩部分，使較大部分與全長的比值等于較小部分與較大的比值，則這個比值即為黃金分割。其比值是（√5-1）：2，近似值為0.618，通常用希臘字母Ф表示這個值。[1]?
附：黃金分割數前面的32位為：0.6180339887 4989484820 458683436565
特殊的數列
設一個數列，它的最前面兩個數是1、1，后面的每個數都是它前面的兩個數之和。例如：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144·····這個數列為“斐波那契數列”，這些數被稱為“斐波那契數”。
經計算發現相鄰兩個斐波那契數的比值是隨序號的增加而逐漸逼近黃金分割比。由于斐波那契數都是整數，兩個整數相除之商是有理數，而黃金分割是無理數，所以只是不斷逼近黃金分割。[5]?
黃金三角形
所謂黃金三角形是一個等腰三角形，其底與腰的長度比為黃金比值，正是因為其腰與邊的比為(√5-1)/2而被稱為黃金三角形。黃金分割三角形是唯一一種可以用5個而不是4個與其本身全等的三角形來生成與其本身相似的三角形的三角形。由五角形的頂角是36度可得出黃金分割的數值為2sin18度（即2*sin(π/10)）。
將一個正五邊形的所有對角線連接起來，在五角星中可以找到的所有線段之間的長度關系都是符合黃金分割比的，所產生的五角星里面的所有三角形都是黃金分割三角形。[6]?
發展簡史黃金分割最早記錄在公元前6世紀，關于黃金分割比例的起源大多認為
畢達哥拉斯
來自畢達哥拉斯學派。公元前4世紀，古希臘數學家歐多克索斯第一個系統研究了這一問題，并建立起比例理論。公元前300年左右歐幾里得吸收了歐多克索斯的研究成果，進一步系統論述了黃金分割，其《幾何原本》成為最早的有關黃金分割的論著。[7]?[2]?
中國也有黃金分割的相關記載，雖然沒有古希臘的早，但中國的算法是由中國古代數學家自己獨立創造的，后傳入了印度。黃金分割在文藝復興前后，經過阿拉伯人傳入歐洲。經考證，歐洲的比例算法是源于中國而不是直接從古希臘傳入的。[8]?[2]?
黃金分割具有嚴格的比例性、藝術性、和諧性，蘊藏著豐富的美學價值，這一比值能夠引起人們的美感，被認為是建筑和藝術中最理想的比例。[4]?
畫家們發現，按0.618:1來設計的比例，畫出的畫最優美，在達·芬奇的作品《維特魯威人》、《蒙娜麗莎》、還有《最后的晚餐》中都運用了黃金分割。而現今的女性，腰身以下的長度平均只占身高的0.58，因此古希臘的著名雕像斷臂維納斯及太陽神阿波羅都通過故意延長雙腿，使之與身高的比值為0.618。建筑師們對數字0.618特別偏愛，無論是古埃及的金字塔，還是巴黎的圣母院，或者是近世紀的法國埃菲爾鐵塔，希臘雅典的巴特農神廟，都有黃金分割的足跡。[4]?
美學價值編輯因為它在造型藝術中具有美學價值，在工藝美術和日用品的長寬設計中，采用這一比值能夠引起人們的美感，在實際生活中的應用也非常廣泛，建筑物中某些線段的比就科學采用了黃金分割，舞臺上的報幕員并不是站在舞臺的正中央，而是偏在臺上一側，以站在舞臺長度的黃金分割點的位置最美觀，聲音傳播的最好。就連植物界也有采用黃金分割的地方，如果從一棵嫩枝的頂端向下看，就會看到葉子是按照黃金分割的規律排列著的。在很多科學實驗中，選取方案常用一種0.618法，即優選法，它可以使我們合理地安排較少的試驗次數找到合理的西方和合適的工藝條件。正因為它在建筑、文藝、工農業生產和科學實驗中有著廣泛而重要的應用，所以人們才珍貴地稱它為"黃金分割"。
黃金分割(Golden Section)是一種數學上的比例關系。黃金分割具有嚴格的比例性、藝術性、和諧性，蘊藏著豐富的美學價值。應用時一般取0.618 ，就像圓周率在應用時取3.14一樣。
并且人們認為如果符合這一比例的話，就會顯得更美、更好看、更協調。在生活中，對“黃金分割”有著很多的應用。
最完美的人體：肚臍到腳底的距離/頭頂到腳底的距離=0.618
最漂亮的臉龐：眉毛到脖子的距離/頭頂到脖子的距離=0.618
在企業經營管理中，從經驗來看，資產負債率（即負債總額除資產總額）應以黃金分割點為臨界點，如果高于這個點就可能面臨較大經營風險（當然象銀行這類企業可以例外），目前正在進行科學論證中。
舉例
這個數值的作用不僅僅體現在諸如繪畫、雕塑、音樂、建筑等藝術領域，而且在管理、工程設計等方面也有著不可忽視的作用。
讓我們首先從一個數列開始，它的前面幾個數是：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144…。.這個數列的名字叫做"菲波那契數列"，這些數被稱為"菲波那契數"。特點是即除前兩個數（數值為1）之外，每個數都是它前面兩個數之和。
菲波那契數列與黃金分割有什么關系呢？經研究發現，相鄰兩個菲波那契數的比值是隨序號的增加而逐漸趨于黃金分割比的。即f(n)/f(n-1)-→1.618…。由于菲波那契數都是整數，兩個整數相除之商是有理數，所以只是逐漸逼近黃金分割比這個無理數。但是當我們繼續計算出后面更大的菲波那契數時，就會發現相鄰兩數之比確實是非常接近黃金分割比的。
一個很能說明問題的例子是五角星/正五邊形。五角星是非常美麗的，我們的國旗上就有五顆，還有不少國家的國旗也用五角星，這是為什么？因為在五角星中可以找到的所有線段之間的長度關系都是符合黃金分割比的。正五邊形對角線連滿后出現的所有三角形，都是黃金分割三角形。
由于五角星的頂角是36度，這樣也可以得出黃金分割的數值為2Sin18度。
創造力
研究人員從拍賣行中選取了200名世界上最著名的藝術家的作品，通過對銷售記錄進行統計后發現，大部分藝術家創作出最昂貴作品的年齡是在42歲左右，將這個年齡除以他們壽命的平均值后，得數為“0.6198”，這個數字和科學界公認的黃金分割點“0.6180”極為接近。研究還發現，即使是一些英年早逝的天才，他們也是在自己生命的“黃金分割點”前后創作了自己最偉大的作品。
研究者表示，這項調查中不少藝術家去世年齡較早，可能拉低了最佳年齡的數值，有些藝術家其實是在42歲以后取得非凡成就的。如畢加索和莫奈分別是在56歲和60歲時創作出了最有價值的作品。這兩位藝術家的巔峰雖然推后了不少，但他們也都是在自己生命的“黃金分割點”前后達到藝術創作頂峰的。[1]?
5生活實例編輯植物葉子
，千姿百態，生機盎然，給大自然帶來了美麗的綠色世界。盡管葉子形狀隨種而異，但它在莖上的排列順序(稱為葉序)，卻是極有規律的。
你從植物莖的頂端向下看，經細心觀察，發現上下層中相鄰的兩片葉子之間約成137.5°角。如果每層葉子只畫一片來代表，第一層和第二層的相鄰兩葉之間的角度差約是137.5°，以后二到三層，三到四層，四到五層……兩葉之間都成這個角度數。植物學家經過計算表明：這個角度對葉子的采光、通風都是最佳的。葉子的排布，多么精巧！
今人驚訝的是，人體自身也和0.618密切相關。對人體解剖很有研究的意大利畫家達·芬奇發現，人的肚臍位于身長的0.618處。科學家們還發現，當外界環境溫度為人體溫度的0.618倍時，人會感到最舒服。
古希臘帕提依神廟由于高和寬的比是0.618，成了舉世聞名的完美建筑。建筑師們發現，按這樣的比例來設計殿堂，殿堂更加雄偉、壯麗；去設計別墅，別墅將更加舒適、美麗。連一扇門窗若設計為黃金矩形都會顯得更加協調和令人賞心悅目。
高雅的藝術殿堂里，自然也留下了黃金數的足跡。畫家們發現，按0.618∶1來設計腿長與身高的比例，畫出的人體身材最優美，而現今的女性，腰身以下的長度平均只占身高的0.58，因此古希臘維納斯女塑像及太陽神阿波羅的形象都通過故意延長雙腿，使之與身高的比值為0.618，從而創造藝術美。難怪許多姑娘都愿意穿上高跟鞋，而芭蕾舞演員則在翩翩起舞時，不時地踮起腳尖。
音樂家發現，二胡演奏中，“千金”分弦的比符合0.618∶1時，奏出來的音調最和諧、最悅耳。
只要留心，到處都可發現黃金數這位美的“使者”的足跡。運用于科學實驗和工農業生產的優選法中的0.618法，還能給我們帶來巨大的經濟效益呢！黃金數0.618，真是一件造福人類的絢麗瑰寶!
希臘古城雅典有一座用大理石砌成的神廟，神廟大殿中央的女神像是用象牙和黃金雕成的。女神的體態輕柔優美，引人入勝。經專家研究發現，她的身體從腳跟到肚臍間的距離與整個身高的比值，恰好是0.618。不僅雅典娜女神身材如此美好，其他許多希臘女神的身體比例也是如此。人們所熟悉的米洛斯“維納斯”，太陽神阿波羅的形象，海姑娘――阿曼等一些名垂千古的雕像，都可以找到0.618的比值。
1483年左右，達芬奇畫的一副未完成的油畫，包圍著圣杰羅姆軀體的黑線，就是一個黃金分割的矩形，當時達芬奇似乎有意利用這一黃金分割的比值。“檢閱”是法國印象派畫家舍勒特的一副油畫，它的畫杠結構比例也正是0.618的比值。英國在畫家斐拉克曼的名著《希臘的神話和傳說》一書中，工繪有96幅美人圖。每一幅畫上的美人都嫵媚無比婀娜多姿。如果仔細量一下她們的比例也都和雅典娜相似。
建筑：早在公元前五世紀，希臘建筑家就知道0.618的比值是協調，平衡的結構。文明古國埃及的金字塔，形似方錐，大小各異。但這些金字塔底面的邊長與高之比都接近于0.618。古時候的一些神廟，在建筑時高和寬也是按黃金數的比來建立，他們認為這樣的長方形看來是較美觀。黃金律是建筑藝術必須遵循的規律。在建筑造型上，人們在高塔的黃金分割點處建樓閣或設計平臺，便能使平直單調的塔身變得豐富多彩。
據研究，從猿到人的進化過程中，骨骼方面以頭骨和腿骨變化最大，軀體外形由于近似黃金而矩形變化最小，人體結構中有許多比例關系接近0.618，從而使人體美在幾十萬年的歷史積淀中固定下來。人類最熟悉自己，勢必將人體美作為最高的審美標準，由物及人，由人及物，推而廣之，凡是與人體相似的物體就喜歡它，就覺得美。于是黃金分割律作為一種重要形式美法則，成為世代相傳的審美經典規律，至今不衰！近年來，在研究黃金分割與人體關系時，發現了人體結構中有14個“黃金點”，12個“黃金矩形”和2個“黃金指數” 黃金點：(1)肚臍：頭頂－足底之分割點；(2)咽喉：頭頂－肚臍之分割點；(3)、(4)膝關節：肚臍－足底之分割點；(5)、(6)肘關節：肩關節－中指尖之分割點；(7)、(8)乳頭：軀干乳頭縱軸上這分割點；(9)眉間點：發際－頦底間距上1/3與中下2/3之分割點；(10)鼻下點：發際－頦底間距下1/3與上中2/3之分割點；(11)唇珠點：鼻底－頦底間距上1/3與中下2/3之分割點；(12)頦唇溝正路點：鼻底－頦底間距下1/3與上中2/3之分割點；(13)左口角點：口裂水平線左1/3與右2/3之分割點；(14) 右口角點：口裂水平線右1/3與左2/3之分割點。 面部黃金分割律 面部三庭五眼 黃金矩形：(1)軀體輪廓：肩寬與臀寬的平均數為寬，肩峰至臀底的高度為長；(2)面部輪廓：眼水平線的面寬為寬，發際至頦底間距為長；(3)鼻部輪廓：鼻翼為寬，鼻根至鼻底間距為長；(4)唇部輪廓：靜止狀態時上下唇峰間距為寬，口角間距為長；(5)、(6)手部輪廓：手的橫徑為寬，五指并攏時取平均數為長；(7)、(8)、(9)、(10)、(11)、(12)上頜切牙、側切牙、尖牙（左右各三個）輪廓：最大的近遠中徑為寬，齒齦徑為長。
（二）比例關系 是用數字來表示人體美，并根據一定的基準進行比較。用同一人體的某一部位作為基準，來判定它與人體的比例關系的方法被稱為同身方法（見中圖）。分為三組：系數法，常指頭高身長指數，如畫人體有坐五、立七，即身高在坐位時為頭高的五倍、立位時為7或7.5倍；百分數法，將身長視為100%，身體各部位在其中的比例；兩分法：即把人體分成大小兩部分，大的部分從腳到臍，小的部分為臍到頭頂。標準的面型，其長寬比例協調，符合三停五眼（見右圖）。三停是指臉型的長度，從頭部發際到下頦的距離分為三等分，即從發際到眉、眉到鼻尖、鼻尖到下頦各分為一等分，各稱一停共三停；五眼是指臉型的寬度，雙耳間正面投影的長度為五只眼裂的長度，除眼裂外、內此間距為一眼裂長度、兩側外眥角到耳部各有一眼裂長度，其是五眼長度稱五眼。
（三）角度關系 從不同的角度觀察，所反映的人體形態也各不相同。Belt和Campen等人提出的側角學說，就是通過角度來體現人體形體美的。其中Campen的學說是以鼻下點與耳孔點的直線連線為基準，來測量側面觀察時額頭的傾斜角度的方法，這樣可以把復雜的立體感的頭部，用簡單的輪廓線進行描述－被稱為側面定性分析方法。用連接鼻尖點和頦下點的直線來觀察唇的突出度，評價面下部的美丑。鼻尖、下唇紅前緣、頦下點在同一條直線上，稱為Ricketts美學平面，是一種美的標志。
黃金分割點(4)
黃金分割點0.618無處不在
黃金分割概述????把一條線段分割為兩部分，使其中一部分與全長之比等于另一部分與這部分之比。其比值是一個無理數，用分數表示為(√5-1)/2，取其前三位數字的近似值是0.618。由于按此比例設計的造型十分美麗，因此稱為黃金分割，也稱為中外比。這個分割點就叫做黃金分割點（golden section ratio通常用φ表示）這是一個十分有趣的數字，我們以0.618來近似表示，通過簡單的計算就可以發現：(1-0.618)/0.618=0.6一條線段上有兩個黃金分割點。
人與黃金分割
????在人體中包含著多種“黃金分割”的比例因素，至少可以找出18個“黃金點”（如：臍為頭頂至腳底之分割點、喉結為頭頂至臍分割點、眉間點為發緣點至頦下的分割點等）幾乎身體相鄰的每一部分都成黃金比，隨著人類對自然界（動物、植物、宇宙、人類自身）的認識的日益深入，人類關于“黃金分割比”這一神奇比例的了解也越來越豐富。
人體最適應的溫度乃是用黃金分割率切割自身的溫度,因為人正常體溫是37.5度，它和0.618的乘積為23.175℃，在這一環境溫度中，機體的新陳代謝、生理節奏和生理功能均處于最佳狀態。
人們發現自然界中這一神奇比例幾乎無所不在。從低等的動植物到高等的人類，從數學到天文現象中，幾乎都暗含著這種比例結構。
養生學中的黃金率
幾千年前古希臘學者提出的“黃金分割率”（0．618），在保健養生方面也有許多適用價值，甚至能幫助我們破譯養生學中許多難解之謎。
1、舒適溫度
人體在環境溫度為22℃～24℃時，感覺最舒適。因為人的正常體溫37℃與0．618的乘積為22.8℃，在這一環境溫度中，機體的新陳代謝和生理節奏均處于最佳狀態。
2、理想睡眠
近來科學家研究證實，每天7．5小時是最理想的睡眠時間，長期這樣睡眠的人大多既健康又長壽。一天中白晝和夜晚各為12小時，人最理想的睡眠剛好是夜晚12小時的0．618（7．416），即近7.5小時。
3、愉快起床
如果估計早起穿衣服的時間要兩分鐘，那么躺在床上睜開眼睛的“預備時間”應為三分鐘；若刷牙三分鐘，洗臉應兩分鐘。整個過程利用黃金分割率，前段事情與后段事情的時間比應是6：4，這樣人體感覺是最為舒服的。
4、人體穴位
人體的很多重要穴位都與“黃金分割率”有關，如人體頭頂至后腦的0．618處是百會穴；下頜到頭頂的0．618處是天目穴；手指到手腕的0．618處是勞宮穴；腳后跟到腳趾的0．618處是涌泉穴；從腳底到頭頂的0．618處是丹田穴等。
5、健康年齡
如果說一個人一生最健康的年齡是100－61．8（相當于1－0．618）=38．2歲以前，同樣我們也可以估算出一個人最不健康的年齡應該是61．8歲之后。如此，則38歲就是人的一生中一個正黃金點，62歲相應地就是人一生中一個負黃金點。
6、文明說話
若“逢人只說三分話”，難免使人覺得你虛偽。如果利用“黃金分割率”的0．618，逢人且說六分話，就可以給你帶來許多真誠的笑容。但是也要文明地保留四分話，這是遵守與人處世的“適可而止”、“不煩不當”等文明規則。
7、科學工作
利用“黃金分割率”，應是六分認真工作，四分自然工作。四分的自然工作，可以給自己留有體味、迂回，甚至發展的余地。
8、動靜法則
“以動養生”與“靜養”關系方面，一直存在不同的觀點。但從辯證觀點和大量觀察得知，動與靜應該是一個0．618的比例關系，大致是四分動，六分靜，這才是最佳的養生之道。
9、情欲調控
人是感情動物，富有七情六欲。情感影響著人體內部生理機能的運轉狀態，從而決定著人體免疫功能并直接影響人體的健康和壽命。因此，我們每一個人都要學會調控與平衡自己的情欲-學會忍耐的同時，也要學會宣泄。通常，心理平衡程度以四分宣泄、六分忍耐，為機體保持健康的最佳平衡點。
10、抗老奧秘
抗衰老有生理與心理抗衰之分，哪個為重？研究證明，生理上的抗衰為四，心理上的抗衰為六，也符合“黃金分割率”。充分調動與合理協調心理和生理兩方面的力量來延緩衰老，可以達到延年益壽的最好效果。
11、和諧性生活
性生活一般可分兩個階段，就是性的前奏和性交兩個階段，那么應該是四分性交，六分性前奏。比如整個性生活為30分鐘，性的前奏時間應有18分鐘，而性交12分鐘，這樣的性生活可能是最和諧、最甜蜜、最有激情、能使雙方都達到性高潮的。
掌握與運用好“0．618”，可使人體節約能耗，延緩衰老，提高生命質量。在各方面善用“黃金分割率”的張力和空間來處理，你的生活就會變得更美好。
植物與黃金分割
葉子間的137.5°角中，藏有什么“密碼”呢？
我們知道，一周是360°，360°-137.5°=222.5°，137.5°∶222.5°≈0.618．
瞧，這就是“密碼”！葉子的精巧而神奇的排布中，竟然隱藏著0.618，準確符合數學中的“黃金分割律”。
梨樹也是如此，它的葉片排列是沿對數螺旋上升，這也保證了葉與葉之間不會重合，下面的葉片正好在從上面葉片間漏下陽光的空隙地方，這是采光面積最大的排列方式。可見，沿對數螺旋按圓的黃金分割盤旋而生，是葉片排列的最優良選擇。
建筑與黃金分割
金字塔的幾何形狀有五個面，八個邊，總數為十三個層面。由任何一邊看入去，都可以看到三個層面。金字塔的長度為5813寸（５－８－13）。無論是古希臘帕特農神廟，還是中國古代的兵馬俑，它們的垂直線與水平線之間竟然完全符合1比0.618的比例。法國巴黎圣母院的正面高度和寬度的比例是8：5，它的每一扇窗戶長寬比例也是如此。黃浦江東岸的 東方明珠廣播電視塔，塔身高達468米。紐約聯合國大樓在建筑設計中所運用的黃金分割率。
宇宙與黃金分割我們知道，太陽系內目前共發現有八大行星。然而早在18世紀中葉，德國的自然科學家提丟斯就發現，如將0、3、6、12、24、48、96數列中的每個數加4，而得數用10來除，其結果是：
（0+4）÷10=0.4 （水星距離太陽實際0.387天文單位）
（3+4）÷10=0.7 （金星距離太陽實際0.723天文單位）
（6+4）÷10=1.0 （地球距離太陽實際1.000天文單位）
（12+4）÷10=1.6 （火星距離太陽實際1.524天文單位）
（24+4）÷10=2.8 （小行星帶）
（48+4）÷10=5.2 （木星距離太陽實際5.203天文單位）
（96+4）÷10=10 （土星距離太陽實際9.56天文單位）
通過以上數字對比我們可以看出，提丟斯計算出的數值與各行星至太陽的實際距離確實是十分相近的。1766年，提丟斯在把《自然的探索》這本書從法文翻譯成德文的時候，也順便將他發現的這一規律加進書中。但此書出版后并沒有引起人們的普遍關注。1772年，柏林天文臺臺長波得注意到了這-奇特的規律，并將它編寫到《星空研究指南》一書中進行介紹，這就是后人經常提到的提丟斯—-波得定則。但需要說明的是：為什么是0、3、6、12、24、48這樣的數列加4再用10來除而不是別的什么數？提丟斯和波得都沒有做出任何解釋。里面包含著什么奧秘？他們倆也都沒有說明。
近年來，有人用黃金分割法來計算各行星至太陽的距離，其結果同樣令人驚訝！
0.732×0.618＝0.446（水星距太陽實際0.387天文單位）
1.000×0.618＝0.618（金星距太陽實際0.723天文單位）
1.52×0.618＝0.939（地球距太陽實際1.000天文單位）
2.80×0.618＝1.73 （火星距離太陽實際1.52天文單位）
5.20×0.618＝3.213（小行星帶距太陽實際2.8天文單位）
9.54×0.618＝5.89 （木星距太陽實際5.2天文單位）
19.2×0.618＝11.86 （土星距太陽實際9.54天文單位）
30.1×0.618＝18.601（天王星距太陽實際19.2天文單位）
1個天文單位等于1.5億千米
從以上數字我們可以看出，除土星至太陽的實際距離誤差稍大些外，其它行星至太陽的距離數值都還是很接近的。如果我們再考慮到各行星之間的相互引力及偏心率問題，計算數值會顯得更要精確一些。如土星除受太陽的吸引力外，還要受木星巨大引力的影響，故它的實際距離小于計算值就不難理解了。當然，用黃金分割法計算各行星至太陽間的距離，同提丟斯—-波得定則一樣，在海王星和冥王星的計算上受到了挑戰，其原因還有待于繼續分析研究。
我們知道，銀河系是一個巨大的天體系統，其中恒星占了90%，氣體和塵埃占了10%，而這些物質大部分匯聚在中央平面的附近繞銀河中心運行。從側面來看我們的銀河系，它就像一個扁扁的鐵餅，整個直徑有25千秒差距至30千秒差距，而我們人類居住的地球和太陽系，就處在距銀河系中心8.5千秒差距的地方。近年來又有人發現：我們的太陽系所在的位置，正好也是銀河系半徑的黃金分割帶上。即：27.5÷2×0.618＝8.4975（千秒差距）。
奇妙的“黃金數”取一條線段，在線段上找到一個點，使這個點將線段分成一長一短兩部分，而長段與短段的比恰好等于整段與長段的比，這個點就是這條線段的黃金分割點。這個比值為：1：0.618…而0.618…這個數就被叫作“黃金數”。
有趣的事，這個數在生活中隨處可見：人的肚臍是人體總長的黃金分割點；有些植物莖上相鄰的兩片葉子的夾角恰好是把圓周分成1：0.618…的兩條半徑的夾角。據研究發現，這種角度對植物通風和采光效果最佳。
建筑師們對數0.618…特別偏愛，無論是古埃及的金字塔，還是巴黎圣母院，或是近代的埃菲爾鐵塔，都少不了0.618…這個數。人們還發現，一些名畫，雕塑，攝影的主體大都在畫面的0.618…處。音樂家們則認為將琴馬放在琴弦的0.618…處會使琴聲更柔和甜美。
數0.618…還使優選法成為可能。優選法是一種求最優化問題的方法。如在煉鋼時需要加入某種化學元素來增加鋼材的強度，假設已知在每噸鋼中需加某化學元素的量在1000—2000克之間。為了求得最恰當的加入量，通常是取區間的中點進行試驗，然后將實驗結果分別與1000克與2000克時的實驗結果作比較，從中選取強度較高的兩點作為新的區間，再取新區間的中點做實驗，直到得到最理想的效果為止。但這種方法效率不高，如果將試驗點取在區間的0.618處，效率將大大提高，這種方法被稱作“0.618法”，實踐證明，對于一個因素的問題，用“0.618法”做16次試驗，就可以達到前一種方法做2500次試驗的效果！
“黃金數”在生活中竟有如此多的實例和運用。或許，在它的身上，還有更多的奧秘，等待我們去探尋，使它能更好地為我們服務，為我們解決更多問題。
